직교배열표

왜 배우는가: 직교배열표는 다요인 실험의 횟수를 줄이면서 주효과를 독립적으로 추정하게 하므로 실험계획법의 기본 도구이다. 시험에서는 정의와 특징을 묻는 문항과 분산분석 계산을 요구하는 문항에 함께 쓰이므로, 개념과 계산을 같이 익혀야 한다.

출제 이력: 제136회 3교시 6번, 제134회 1교시 12번, 제130회 4교시 6번, 제121회 4교시 4번, 제100회 4교시 6번, 제95회 4교시 3번, 제94회 3교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

직교배열표는 인자와 수준의 모든 조합을 실험하지 않고, 균형 잡힌 일부 조합만 골라 각 인자의 효과를 서로 독립적으로 추정하도록 짠 실험 배치표이다.

직교배열표는 실험 횟수를 줄이면서도 인자 효과의 추정이 서로 뒤섞이지 않게 하는 도구이다. 이 정의에서 실험 횟수의 절감과 효과의 독립 추정이 두 축이 된다. 직교배열표는 주효과를 중심으로 배치를 설계하는 대표적인 도구이므로, 다요인 실험의 출발점으로 쓰인다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 직교배열표: 인자와 수준의 배치를 행과 열로 정리한 실험 배치표
• 인자: 실험에서 값을 바꾸어 특성치에 주는 영향을 보는 조건
• 수준: 인자가 가지는 값의 단계이며, 2수준이면 보통 0과 1로 코드화한다
• 열: 인자 하나 또는 교호작용 하나를 배치하는 자리
• 직교성: 두 열의 수준 조합이 모두 같은 횟수로 나타나는 성질
• 강도: 임의로 고른 열들에서 수준 조합이 균형을 이루는 정도
• 지수: 균형을 이루는 각 조합이 배열 안에서 나타나는 횟수

2. 개념 풀이

직교배열표의 정식 정의는 다음과 같다. 크기 s인 유한 집합을 알파벳이라 하고 그 원소를 수준이라 부르며, 자연수 k를 인자수라 한다. 배열은 임의로 t개의 열을 골랐을 때 수준의 모든 t-순서쌍이 같은 횟수 λ만큼 나타나도록 구성되어야 한다. 이때 t를 강도, λ를 지수라 하며, 배열의 실험 횟수는 다음 식으로 정해진다.

$N = λ × s^t$

여기서 N은 실험 횟수, s는 수준 수, t는 강도, λ는 지수이다. 강도가 2이고 지수가 2인 2수준 배열의 실험 횟수는 2 × 2^2 = 8회가 된다.

원리는 균형에 있다. 2수준 인자 7개의 전체 요인배치 실험은 2^7 = 128회가 필요하다. 그러나 L8(2^7) 배열은 8회 실험으로 열 7개를 2수준으로 배치한다. 이 배열에서는 어떤 두 열을 골라도 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) 네 조합이 각각 2회씩 나타난다. 이 균형을 직교성이라 한다.

이 균형 때문에 한 열에 배치된 인자의 수준별 평균 차이가 다른 열의 수준 차이에 섞이지 않는다. 열마다 실험 8회 중 4회씩 두 수준이 나뉘므로, 다른 인자의 영향은 평균 차이를 구할 때 상쇄된다. 그래서 인자 A의 주효과는 A가 2수준인 실험들의 특성치 평균에서 1수준인 실험들의 특성치 평균을 뺀 값이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$A의 주효과 = A_2 수준 평균 - A_1 수준 평균$

여기서 A_2 수준 평균과 A_1 수준 평균은 각각 A가 2수준, 1수준인 실험의 특성치 평균이다. 기본 계산은 이 차이 식으로 이루어진다.

교호작용은 열 사이의 조합으로 나타낸다. 두 열의 수준을 같은 행에서 2를 법으로 더한 값으로 만든 열이 두 인자의 교호작용 열이다. L8에서 열 1과 열 2의 교호작용은 열 3에 나타난다. 그러므로 교호작용을 고려하려면 주효과 인자를 배치한 열과 교호작용 열이 겹치지 않도록 미리 열을 나누어 배치해야 한다. 교호작용을 고려하지 않고 모든 열에 주효과만 배치하면, 교호작용이 오차항에 섞여 주효과 추정이 왜곡된다. 두 효과가 같은 열에 겹쳐 구분되지 않는 현상을 교락이라 한다.

배열은 수준 수에 따라 나뉜다. 모든 인자의 수준 수가 같은 고정 수준 배열과 수준 수가 섞인 혼합 수준 배열이 있으며, 다구찌 방법의 카탈로그에는 두 종류가 모두 포함된다. 3수준 배열의 대표 예는 L9(3^4)이다. 이 배열은 9회 실험으로 열 4개에 3수준 인자를 배치하며, 두 열을 골라도 9가지 수준 조합이 각각 1회씩 나타나 균형을 이룬다.

배열을 고를 때는 인자 수와 수준 수를 정한 뒤, 배치할 인자와 고려할 교호작용을 모두 담을 수 있는 배열을 고른다. 배열의 자유도는 배치할 인자와 교호작용의 자유도 합보다 크거나 같아야 하므로, 인자 수가 많을수록 큰 배열이 필요해진다.

3. 등장 배경과 필요성

인자 k개를 각각 s수준으로 전부 조합하는 실험은 s^k회가 필요하다. 인자가 하나 늘 때마다 실험 횟수가 s배로 늘어나므로, 인자가 많은 공정 실험은 비용과 기간 면에서 실행이 어렵다. 반대로 한 번에 한 인자씩 바꾸는 방식은 실험 횟수를 줄일 수 있지만, 인자 사이의 교호작용을 볼 수 없어 최적 조건을 안정적으로 찾기 어렵다.