적합도 검정

왜 배우는가: 적합도 검정은 표본 자료가 가정한 분포나 비율을 따르는지 판정하는 기본 검정이다. 품질관리에서 불량 유형 비율의 변화나 설비·주사위의 공정성을 따지는 데 쓰이며, 기술사 시험에서는 여러 교시에 걸쳐 검정 절차와 자유도 계산을 묻는 기본 문항이다.

출제 이력: 제133회 1교시 2번, 제125회 3교시 4번, 제122회 2교시 4번, 제104회 3교시 1번, 제100회 4교시 2번, 제95회 3교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

적합도 검정은 관측도수 분포가 가정한 이론적 분포와 일치하는지를 판정하는 통계적 검정이다. 적합도 검정은 한 개의 범주형 변수에 대해 관측도수와 기대도수의 차이가 우연 변동으로 설명되는지를 살핀다. 귀무가설이 참이라면 두 도수의 차이는 작아야 하고, 차이가 충분히 크면 가정한 분포를 기각한다. 이 검정은 가설검정의 한 형태이므로 귀무가설과 대립가설, 제1종 오류와 제2종 오류의 틀을 그대로 따른다. 다만 검정 대상이 평균이나 분산이 아니라 분포의 모양이라는 점이 다르다. 자료가 빈도로 주어졌을 때, 특히 명목척도 자료의 분석에 쓰인다는 점도 특징이다. 검정통계량이 카이제곱 분포를 따르기 때문에 카이제곱 적합도 검정이라고도 부른다.

핵심 키워드

• 적합도 검정
• 카이제곱 검정
• 관측도수
• 기대도수
• 자유도
• 귀무가설
• 유의수준

2. 개념 풀이

정식 정의는 다음과 같다. 적합도 검정은 모집단이 특정 분포를 따른다는 가설을 세우고, 표본에서 얻은 도수가 그 가정 아래 기대되는 도수와 얼마나 떨어져 있는지를 측정하여 판정하는 검정이다. 범주 i의 관측도수를 O_i, 기대도수를 E_i, 범주 수를 k라 하면 검정통계량은 다음과 같이 계산한다.

$χ_0^2 = Σ_{i=1}^{k} (O_i − E_i)^2 / E_i$

원리는 단순하다. 귀무가설이 참이면 O_i와 E_i의 차이가 작아 χ_0^2도 작게 나온다. 차이가 커질수록 χ_0^2가 커지므로 이 검정은 항상 상측 꼬리(upper tail) 검정이다. 귀무가설 아래에서 χ_0^2는 자유도 ν인 카이제곱 분포를 근사적으로 따르며, 유의수준 α에서 임계값 χ_α^2(ν)와 비교하여 판정한다. 이 근사는 기대도수가 충분히 클 때 성립하므로 기대도수가 작은 범주는 인접 범주와 합쳐서 계산한다.

핵심 용어를 풀면 다음과 같다. 관측도수는 표본을 범주별로 나누었을 때 실제로 세어진 개수이다. 기대도수는 가정한 분포가 참이라고 보았을 때 각 범주에 기대되는 개수이며, 범주 확률 p_i를 쓰면 E_i = n p_i로 계산한다. 여기서 n은 표본 크기이다. 자유도는 ν = k - 1 - m으로 구한다. m은 자료로부터 추정한 모수의 개수이고, 분포를 완전히 지정하여 추정한 모수가 없으면 m = 0이다. 여기서 -1은 전체 도수의 합이 n으로 고정되는 제약을 반영한 것이다.

검정은 다음 순서로 진행한다.

• 귀무가설 H_0(관측 분포가 가정한 분포와 같다)과 대립가설 H_1(적어도 하나의 범주에서 다르다)을 세운다.
• 기대도수 E_i를 계산하고, 각 E_i가 5 이상이 되도록 인접 범주를 합치는 것이 일반적이다.
• 검정통계량 χ_0^2와 자유도 ν를 구한다.
• χ_0^2 > χ_α^2(ν)이면 H_0를 기각하고, 그렇지 않으면 기각하지 않는다.

예를 들어 주사위 눈의 공정성을 검정하면 범주 수가 k = 6이고 추정한 모수가 없으므로 ν = 5이다.

판정 결과를 해석할 때 주의할 점이 있다. H_0를 기각하지 않았다는 것은 분포가 가정과 같다고 증명된 것이 아니라, 차이가 유의수준에서 충분히 크지 않다는 뜻이다. 표본 크기가 작으면 실제 차이가 있어도 기각하지 못하고, 표본이 매우 크면 작은 차이도 기각되기 쉽다. 따라서 결과는 표본 크기와 함께 실무 판단을 거쳐 해석해야 한다.

3. 등장 배경과 필요성

품질관리 현장에는 불량 유형별 발생 비율, 설비별 등급 비율처럼 범주형 자료로 주어지는 경우가 많다. 이런 자료는 평균이나 분산으로 요약하기 어렵고, 이론적 비율과 실제 비율이 같은지를 물어야 한다. 적합도 검정은 범주별 차이를 하나의 통계량으로 합쳐 판단하도록 정리된 기법이다.

설비를 이전하거나 공정을 개선한 뒤 생산 비율이 달라졌는지를 판단하는 일도 같은 구조이다. 주관적 판단으로는 우연 변동과 실제 차이를 구분할 수 없으므로 유의수준을 정하고 통계적으로 판정할 필요가 생긴다. 주사위가 공정한지를 보는 문제도 같은 논리로 해석된다.

연속형 수명 자료에 대해서는 카이제곱 검정보다 콜모고로프-스미르노프(K-S) 검정이나 앤더슨-달링(Anderson-Darling) 검정이 쓰인다. 이 방법들은 자료를 범주로 나누지 않고 경험적 누적분포와 가정한 분포를 직접 비교한다. 따라서 범주 도수가 주어진 문제에는 카이제곱 적합도 검정이, 원시 수명 자료에는 K-S나 Anderson-Darling 검정이 적합하다는 구분이 필요하다.