반복이 있는 2요인 실험

왜 배우는가: 반복이 있는 2요인 실험은 주효과와 교호작용을 같은 자료에서 분리해야 최적조건을 올바르게 정할 수 있으므로 배운다. 실무에서는 두 공정 조건이 함께 작용하는 경우가 많고, 시험에서는 반복 데이터로 분산분석표를 작성하고 최적조건을 찾는 문제 형태로 여러 회차에 걸쳐 출제되었다.

출제 이력: 제139회 4교시 3번, 제118회 3교시 6번, 제113회 4교시 4번, 제98회 4교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

반복이 있는 2요인 실험은 요인 A와 B의 수준 조합마다 r회씩 반복 측정하여 두 주효과와 교호작용효과를 동시에 분리 분석하는 실험계획법이다. 답안 첫 줄에는 이 정의를 그대로 쓰고, 이어서 아래 핵심 키워드를 설명한다.

• 이원배치법: 두 요인의 수준을 행과 열로 배치하여 각 요인의 효과를 함께 분석하는 방법이다.
• 반복수(r): 같은 요인 수준 조합에서 실험을 반복하는 횟수이며, 이 값으로 순수 오차를 추정한다.
• 주효과: 한 요인의 수준이 바뀔 때 반응값의 평균이 달라지는 크기이다.
• 교호작용효과: 한 요인의 효과가 다른 요인의 수준에 따라 달라지는 정도이다.
• 오차항: 반복 측정에서 조합 내부에 나타나는 우연한 변동을 나타내는 항이다.
• 분산분석(ANOVA): 총변동을 요인별 변동과 오차 변동으로 나누어 유의성을 검정하는 방법이다.
• 모수모형: 실험자가 수준을 직접 고정하여 선택한 모형으로, 효과를 평균 대비 편차로 정의한다.

2. 개념 풀이

반복이 있는 2요인 실험은 요인 A가 a개 수준, 요인 B가 b개 수준이고 각 조합에서 r회 반복한 자료를 다룬다. 관측값 y_{ijk}는 전체 평균, 두 주효과, 교호작용효과, 오차항의 합으로 나타낸다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$y_{ijk} = μ + α_i + β_j + (αβ)_{ij} + ε_{ijk},\; i=1,…,a;\; j=1,…,b;\; k=1,…,r$

여기서 μ는 전체 평균, α_i는 A의 i번째 수준 주효과, β_j는 B의 j번째 수준 주효과, (αβ)_{ij}는 A의 i수준과 B의 j수준 조합에서 나타나는 교호작용효과, ε_{ijk}는 같은 조합에서 k번째 반복 측정의 오차항이다. 모수모형에서는 효과가 실험자가 선택한 고정된 수준의 효과이므로 효과들의 합에 제약을 둔다. 즉 \sum α_i = 0, \sum β_j = 0이며, 교호작용은 각 행과 각 열의 합이 0이 되도록 정한다. 이 제약으로 주효과는 전체 평균에서의 편차로 해석되고, 교호작용은 두 주효과로 설명되지 않는 나머지 편차로 해석된다. 교호작용 (αβ)_{ij}는 ab개 값이지만 행과 열의 합 제약 때문에 독립인 값은 (a-1)(b-1)개뿐이다.

반복의 핵심 원리는 같은 조합 안에서 반복값들이 흩어지는 정도가 순수한 오차를 나타낸다는 점이다. 그래서 각 조합의 반복값 차이로 오차 분산을 추정할 수 있고, 이 오차를 기준으로 주효과와 교호작용을 각각 검정한다. 반복이 없으면 교호작용과 오차가 같은 항으로 섞여 교호작용을 따로 검정할 수 없다.

제곱합은 총제곱합 S_T가 S_A, S_B, S_{AB}, S_E로 나뉜다. 식으로 쓰면 S_T = S_A + S_B + S_{AB} + S_E이다. 자유도는 총 자유도 abr-1, 요인 A는 a-1, 요인 B는 b-1, 교호작용은 (a-1)(b-1), 오차는 ab(r−1)이다. 각 제곱합을 자유도로 나눈 값이 평균제곱이며, 교호작용의 F_0는 교호작용 평균제곱을 오차 평균제곱으로 나눈 값이다. 교호작용 검정의 귀무가설은 모든 (αβ)_{ij}가 0이라는 것이다. 이 가설이 기각되면 두 요인이 서로 영향을 주고받는다는 뜻이다. 교호작용이 유의하면 주효과만으로 최적조건을 정하지 않고 조합별 평균으로 판단한다.

3. 등장 배경과 필요성

반복이 없는 2요인 실험은 각 조합에서 한 번씩만 측정한다. 이 경우 오차를 추정할 자리가 비어 있어 교호작용과 오차를 구분할 수 없고, 교호작용을 무시하거나 오차와 합쳐서 분석해야 한다. 이는 반복 없는 2요인 실험의 구조적 한계이다. 반복을 도입하면 같은 조합 안의 변동으로 오차를 직접 추정할 수 있으므로, 교호작용을 독립적으로 검정하는 길이 열린다.

공정과 제품 설계에서는 두 조건이 함께 작용하는 경우가 많다. 예를 들어 온도와 압력이 강도에 미치는 영향이 서로 독립적이지 않을 수 있다. 이때 교호작용을 빼고 주효과만 보면 한 요인의 최적 수준이 다른 요인의 수준에 따라 바뀌는 사실을 놓친다. 그 결과 잘못된 최적조건을 선택할 위험이 커진다.