분할표 분석

왜 배우는가: 분할표 분석은 설문이나 불량 자료처럼 범주로 정리된 데이터의 연관성을 판단하는 기본 도구이다. 여러 회차에 걸쳐 출제되어 기대도수 계산, 자유도, 기각 판정을 한 흐름으로 묻는 문제가 반복되므로 절차를 정확히 익혀야 한다.

출제 이력: 제133회 1교시 12번, 제127회 2교시 5번, 제116회 3교시 4번, 제110회 4교시 1번, 제109회 1교시 3번, 제104회 2교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

분할표 분석은 두 범주형 변수를 교차한 분할표에서 관측도수와 기대도수의 차이로 두 변수의 독립성을 검정하는 방법이다.

이 정의는 답안 첫 줄에 그대로 옮겨 쓸 수 있다. 핵심 키워드는 다음과 같다.

• 분할표: 두 범주형 변수의 범주를 행과 열로 교차하여 도수를 적은 표이다.
• 관측도수: 조사나 실험에서 실제로 관측된 각 칸의 도수이다.
• 기대도수: 두 변수가 독립이라고 가정할 때 각 칸에 기대되는 도수이다.
• 카이제곱 통계량: 관측도수와 기대도수 차이의 제곱을 기대도수로 나누어 모두 더한 값이다.
• 자유도: 행과 열의 합계를 고정했을 때 자유롭게 정해지는 칸의 수이다.
• 독립성 검정: 한 모집단에서 두 변수가 서로 관련이 없는지 가리는 검정이다.

2. 개념 풀이

분할표 분석은 표본을 두 범주형 변수의 범주로 나누어 얻은 분할표에서, 두 변수가 서로 독립이라는 귀무가설을 검정하는 방법이다. 독립이란 한 변수의 범주별 분포가 다른 변수의 범주와 관계없이 같다는 뜻이다. 따라서 관측된 도수가 독립 가정에서 기대되는 도수와 얼마나 떨어져 있는지를 측정하여 판정한다.

가설은 귀무가설 H0를 두 변수가 독립이다로, 대립가설 H1을 두 변수가 독립이 아니다로 설정한다. 판정의 원리는 독립이면 각 행의 비율이 전체 비율과 같아야 한다는 데서 나온다. 그러므로 각 칸의 기대도수는 그 칸이 속한 행 합계와 열 합계를 곱하고 전체 합계로 나눈 값이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$E_{ij} = (R_i × C_j) ÷ N$

여기서 R_i는 i번째 행의 합계, C_j는 j번째 열의 합계, N은 전체 표본 수이다. 예를 들어 20대 4,500명과 정상체중 6,000명, 전체 10,000명인 표에서 20대 정상체중의 기대도수는 4,500 × 6,000 ÷ 10,000 = 2,700명이다. 관측도수는 3,000명이므로 기대보다 300명 많다.

관측도수 O_{ij}와 기대도수 E_{ij}의 차이는 카이제곱 통계량으로 모아 평가한다. 식은 다음과 같다.

$χ_0^2 = Σ_i Σ_j (O_{ij} − E_{ij})^2 ÷ E_{ij}$

차이를 제곱하고 기대도수로 나누므로 값이 클수록 독립 가정에서 벗어난다는 뜻이다. 기각 여부는 자유도 ν = (r−1)(c−1)의 카이제곱 분포에서 정한 임계값과 비교한다. 여기서 r은 행의 수, c는 열의 수이다. 자유도는 행과 열의 합계를 고정하면 나머지 칸 중 자유롭게 정해지는 칸의 수와 같다. 2×2 분할표의 자유도는 1이며, 유의수준 0.05에서 임계값은 3.84이다. 카이제곱 통계량이 임계값보다 크면 귀무가설을 기각한다.

계산에서 주의할 점이 두 가지 있다. 첫째, 기대도수가 5 미만인 칸이 많으면 카이제곱 분포에 대한 근사가 부정확해지므로 인접한 범주를 합치거나 정확검정을 고려한다. 둘째, 분할표 분석은 두 변수가 연관되어 있는지만 판정할 뿐 연관의 강도나 방향은 알려 주지 않는다. 연관의 크기를 말하려면 별도의 척도를 써야 한다.

3. 등장 배경과 필요성

현장 자료의 상당수는 길이나 무게처럼 수치로 측정되는 값이 아니라, 불량 유형, 설비 번호, 지역, 품종처럼 범주로 구분되는 명목형 자료이다. 이런 자료는 평균과 분산으로 요약하기 어렵다. 그래서 범주별 도수를 세어 분할표로 정리하고, 그 도수의 분포가 우연을 넘는 차이인지 검정하는 방법이 필요해졌다. 분할표 분석은 명목형 자료에 적용하는 대표적인 방법이다.

품질관리 현장에서는 공정개선 전후를 비교하거나, 설비별·작업자별로 부적합품 발생이 다른지 판단하는 문제가 자주 생긴다. 두 집단의 불량률을 비교할 때는 두 모비율 검정을 쓸 수 있다. 그러나 설비가 세 대 이상이거나 품종과 불량 유형을 함께 보는 상황에서는 비교해야 할 칸이 늘어난다. 이때 쌍마다 검정을 반복하면 제1종 오류의 확률이 누적되는 문제가 생긴다. 분할표 분석은 행과 열의 범주가 몇 개든 하나의 통계량으로 전체 연관을 검정하므로 이 문제를 해결한다.

두 가지 맥락을 구분해야 한다. 한 모집단에서 두 변수를 함께 관찰하여 독립성을 검정하는 경우가 독립성 검정이다. 여러 모집단에서 각각 표본을 뽑아 범주의 분포가 같은지 보는 경우는 동질성 검정이다. 두 검정은 같은 카이제곱 통계량과 같은 계산 절차를 쓰며, 자료를 얻는 방식과 가설의 해석만 다르다. 그러므로 자료를 어떻게 수집했는지에 따라 가설을 먼저 정해야 한다.