정수중단시험

왜 배우는가: 정수중단시험은 설계 변경 후 신뢰성이 실제로 향상되었는지를 짧은 시험 시간 안에 확인하는 대표적인 수명시험이므로, MTBF 추정과 평균수명 검정 문제로 반복 출제된다. 실무에서는 고장 개수가 정해지면 시험을 끝낼 수 있어 시험 기간과 비용을 줄일 수 있다.

출제 이력: 제131회 3교시 2번, 제128회 2교시 1번, 제118회 2교시 3번, 제112회 2교시 5번, 제92회 3교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

정수중단시험은 시료 n개를 시험하다가 고장 개수가 미리 정한 r개에 도달하면 시험을 중단하는 수명시험이다. 답안의 첫 줄은 이 정의로 시작하고, 이어서 중단 기준이 시간이 아니라 고장 개수라는 점을 한 문장으로 덧붙인다. 중단 기준이 고장 개수이므로 시험 기간은 미리 정해지지 않고 실제 고장이 발생하는 속도에 따라 결정된다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 정수중단시험: 중단 시점을 시간이 아닌 고장 개수로 정하는 수명시험 방식이다.
• 고장수 r: 시험을 끝내는 기준이 되는 고장 개수이며, 시료 수 n보다 작은 값이다.
• 중도절단: 시험 종료 시점까지 고장이 나지 않은 시료의 정확한 수명을 알 수 없는 상태이다.
• 총 시험시간: 전체 시료가 시험기 안에서 작동한 시간을 합한 값이다.
• 평균고장간격(MTBF): 고장 난 장치를 수리하여 계속 쓰는 경우의 고장과 고장 사이 평균 시간이다.
• 지수분포: 고장률이 시간에 관계없이 일정한 확률분포이다.
• 형상모수 m: 와이블분포에서 고장률이 시간에 따라 변하는 형태를 정하는 모수이다.

2. 개념 풀이

정수중단시험의 정식 정의는 n개의 시료를 동시에 시험하여 r번째 고장이 발생한 시점 t_r에서 시험을 끝내고, 아직 고장 나지 않은 n-r개 시료는 더 이상 관측하지 않는 방식이다. 고장 난 시료는 교체하지 않는 것이 기본이며, 그 결과 얻는 관측 자료는 t_1 \le t_2 \le \cdots \le t_r의 고장 시간뿐이다.

시험 절차는 다음과 같다.

• 시료 n개를 같은 조건에서 동시에 가동한다.
• 고장이 날 때마다 그 시각을 기록하고 고장 난 시료는 교체하지 않는다.
• r번째 고장이 발생하는 순간 나머지 시료의 가동을 멈춘다.
• 고장 시간과 남은 시료의 가동 시간으로 총 시험시간을 계산한다.

원리는 관측되지 않은 시료의 정보를 계산에 어떻게 넣느냐에 있다. 시험이 끝난 시점까지 고장이 나지 않은 n-r개 시료는 수명이 t_r보다 길다는 사실만 알려져 있으며, 이 상태를 중도절단이라 한다. 그래서 이 시료들을 계산에서 빼지 않고 각각 t_r까지 작동한 것으로 보아 총 시험시간을 구한다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$T = \sum_{i=1}^{r} t_i + (n-r)\,t_r$

여기서 T는 총 시험시간(시간), t_i는 i번째 고장 시간(시간), n은 시료 수, r은 고장 수이다. 고장 시간만 더하면 고장 나지 않은 시료가 작동한 시간이 빠지므로, 나머지 항 (n-r)\,t_r이 필요하다.

지수분포를 가정하면 평균고장간격(MTBF)의 추정치는 총 시험시간을 고장 수로 나눈 값이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$\hat{\theta} = \frac{T}{r} = \frac{\sum_{i=1}^{r} t_i + (n-r)\,t_r}{r}$

여기서 \hat{\theta}는 평균고장간격의 추정치(시간), \hat{\lambda} = \frac{r}{T}는 고장률(1/시간)이다. 고장률은 평균고장간격의 역수이므로 두 값은 하나의 자료에서 함께 구한다.

고장률이 일정한 지수분포 가정이 성립하는지는 와이블 확률지에 타점한 직선의 기울기로 판단한다. 기울기가 형상모수 m이며, m이 1이면 와이블 고장률 h(t)=\frac{m}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{m-1}이 \frac{1}{\eta}로 일정해지므로 지수분포와 같다. 따라서 형상모수가 1로 나타난 자료에는 위 식을 적용하는 것이 기본이다.

수리 가능한 장치의 신뢰성은 평균고장간격으로, 교체 없이 한 번 고장 나는 부품의 수명은 평균수명(MTTF)으로 나타낸다. 두 값은 지수분포 가정에서 같은 형태의 식으로 추정되므로 답안에서는 문항이 요구한 용어를 정확히 골라 쓴다.

정수중단시험은 정시중단시험과 구분해야 한다. 정시중단시험은 시험 시간을 미리 정하고 그 시점에 끝내므로 고장 개수가 시험 후에 정해지지만, 정수중단시험은 고장 개수를 미리 정하므로 구간 추정식이 달라진다. 구간 추정은 8절에서 다룬다.

3. 등장 배경과 필요성

신뢰성 시험은 제품이 사용 기간 동안 고장 없이 작동할 확률을 검증하는 과정이다. 수명시험은 제품이 고장 날 때까지 돌려야 하므로, 고신뢰 제품일수록 시험 기간이 길어지고 시험 비용이 커진다. 이 문제를 줄이기 위해 시험 시간을 미리 정하는 대신 고장 개수를 중단 기준으로 삼는 방식이 등장했다.

정수중단시험은 고장 개수를 중단 기준으로 고정하여 시험 기간과 비용을 줄이는 방식이다.