FTA

왜 배우는가: FTA는 대형 시스템의 사고를 하나의 정상사상으로 놓고 그 원인을 논리 게이트로 거슬러 분해하는 신뢰성·안전성 분석 기법이다. 항공우주, 원자력처럼 고장 한 번이 큰 피해로 이어지는 분야에서 설계 검증 수단으로 쓰이므로 실무 평가의 기본 도구가 된다. 시험에서는 정의, 게이트 기호, 확률 계산, 장단점이 한 문제에 묶여 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제133회 4교시 4번, 제116회 4교시 2번, 제113회 2교시 5번, 제98회 4교시 6번, 제95회 4교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

결함수 분석(FTA)은 정상사상을 기본사상의 논리 게이트 조합으로 전개하는 연역적 고장해석이다.

답안 첫 줄에는 이 정의를 그대로 쓴다. 정의에 나오는 용어는 아래 키워드로 정리되며, 답안 본문에서는 각 용어를 한 가지 표기로 통일해 쓴다.

• 결함수 분석(FTA): 바람직하지 않은 사상이 일어나는 원인을 논리 게이트로 연결해 분해하는 신뢰성·안전성 분석 기법이다.
• 정상사상: 분석의 대상이 되는 최종 고장 사상으로, 고장나무의 가장 위에 놓인다.
• 기본사상: 더 이상 분해하지 않는 말단 원인 사상이며, 고장 확률 값이 부여되는 사상이다.
• 중간사상: 정상사상과 기본사상 사이에서 하위 원인들을 묶는 사상이다.
• AND 게이트: 입력 사상이 모두 일어날 때에만 출력 사상이 일어나는 논리 게이트이다.
• OR 게이트: 입력 사상 가운데 하나라도 일어나면 출력 사상이 일어나는 논리 게이트이다.
• 최소 컷셋: 정상사상을 일으키는 기본사상 조합 가운데 더 줄일 수 없는 최소 조합이다.
• 부울 대수: 사상의 발생과 불발생을 1과 0, 논리합과 논리곱으로 다루는 대수 체계이다.

키워드들은 서로 연결되어 하나의 그림을 이룬다. 정상사상은 게이트로 연결된 중간사상들로 나뉘고, 가장 아래 단계의 기본사상에 고장 확률이 주어진다. 게이트 종류와 기본사상의 확률이 정해지면 정상사상의 발생 확률이 계산된다. 따라서 키워드 하나의 뜻을 잘못 이해하면 그림 전체의 해석이 달라지므로, 게이트의 뜻과 사상의 층위를 먼저 정확히 구분해야 한다.

2. 개념 풀이

결함수 분석(FTA)은 시스템에서 바람직하지 않은 사상인 정상사상을 먼저 정하고, 그 사상이 일어나는 원인을 논리 게이트로 연결해 하위 단계로 전개하는 하향식 연역적 분석법이다. 분석의 출발점은 결과인 정상사상이고, 전개가 끝나는 지점은 부품 고장, 인적 오류, 외부 사건 같은 기본사상이다. 이렇게 완성된 그림을 고장나무라고 한다.

FTA의 출력은 참이나 거짓이 아니라 발생 확률이다. 일반 논리회로의 게이트는 입력과 출력이 1 또는 0이지만, 고장나무의 게이트는 입력 사상의 발생 확률로 출력 사상의 발생 확률을 계산한다. 기본사상이 서로 독립이라고 보는 독립 가정을 두면 게이트별 계산식은 다음과 같다.

AND 게이트의 출력 사상 발생 확률은 입력 사상 발生 확률들의 곱으로 계산한다. 입력이 모두 일어나야 출력이 일어나므로 출력 확률은 입력 확률 가운데 가장 작은 값보다 작아진다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$P_{out} = \prod_{i=1}^{n} P_i = P_1 \times P_2 \times \cdots \times P_n$

여기서 P_out은 출력 사상의 발생 확률, P_i는 i번째 입력 사상의 발생 확률이며 둘 다 0 이상 1 이하의 무차원 값이다.

OR 게이트의 출력 사상 발생 확률은 1에서 각 입력 사상 불발생 확률의 곱을 뺀 값으로 계산한다. 입력 중 하나만 일어나도 출력이 일어나므로 출력 확률은 입력 확률 가운데 가장 큰 값보다 크거나 같아진다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$P_{out} = 1 - \prod_{i=1}^{n}(1 - P_i)$

기본사상의 확률이 충분히 작으면 OR 게이트 출력은 입력 확률의 합에 가까워지므로, 이 근사식을 빠른 계산에 쓸 수 있다.

정상사상은 분석 목적이 되는 최종 고장 사건이고, 기본사상은 더 이상 분해하지 않는 말단 사건으로 확률 값이 주어진다. 중간사상은 그 사이에서 하위 원인을 게이트로 묶는 사상이며, 중간사상의 확률은 아래 단계의 확률에서 게이트 식으로 위쪽에 계산된다.

고장나무는 부울 대수에 따라 논리식으로도 표현된다. 게이트 구조를 논리식으로 바꾸면 정상사상을 일으키는 기본사상의 조합을 찾을 수 있고, 그중 더 줄일 수 없는 최소 조합이 최소 컷셋이다. 식을 간소화할 때에는 부울 대수의 법칙이 쓰이며, 드모르간 정리를 이용하면 성공나무에서 얻은 식을 고장나무의 식으로 바꿀 수 있다. 고장나무는 성공나무의 논리적 역이므로, 신뢰성 블록도의 직렬과 병렬 구조와 짝을 이룬다.

3. 등장 배경과 필요성

FTA가 필요해진 이유는 시스템이 복잡해지면서 고장 원인이 많아지고 서로 얽히게 되었기 때문이다. 부품 단위의 고장 목록만으로는 여러 고장이 조합되어 정상사상이 생기는 경로를 빠뜨리기 쉽다. FTA는 사고 결과에서 출발해 원인을 거꾸로 추적하므로, 시스템 수준에서 사고를 만드는 조합을 체계적으로 찾을 수 있다. 상향식 분석이 각 고장이 상위 결과에 미치는 영향을 정리하는 데 강한 것과 달리, FTA는 결과에서 원인으로 내려가는 방향으로 분석한다.