두 모평균 차이 검정

왜 배우는가: 두 공정, 두 원료, 개선 전후처럼 두 집단의 평균이 실제로 다른지 판단해야 하는 문제는 품질 현장에서 자주 발생한다. 관찰된 평균 차이가 표본오차인지 의미 있는 차이인지 구분하지 못하면 잘못된 공정 판단으로 이어진다. 그래서 검정 절차와 전제조건을 함께 묻는 문항이 시험에서 반복해서 다뤄진다.

출제 이력: 제136회 4교시 5번, 제130회 2교시 4번, 제127회 1교시 4번, 제121회 2교시 3번, 제115회 3교시 6번, 제109회 3교시 6번, 제104회 4교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

두 모평균 차이 검정은 서로 독립인 두 모집단의 평균 차이 μ1 − μ2가 0인지를 두 표본의 평균 차이로 판정하는 가설검정이다. 이 검정은 평균 차이의 크기 자체가 아니라 표본오차를 고려한 검정통계량으로 판단한다는 점이 핵심이다. 답안 첫 줄에는 이 정의를 그대로 쓰고, 이어서 등분산 여부에 따라 검정식이 달라진다는 점을 한 문장으로 덧붙인다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 두 모평균 차이 검정: 두 모집단의 평균이 같은지 판정하는 t 검정 계열의 방법이다.
• 귀무가설: 두 모평균에 차이가 없다는 가정이며 H0: μ1 = μ2로 쓴다.
• 대립가설: 평균에 차이가 있다는 주장으로 양측 또는 단측으로 설정한다.
• 등분산성: 두 모집단의 분산이 같다는 성질이며 검정식을 고르는 기준이 된다.
• F 검정: 두 표본분산의 비로 등분산성을 판정하는 검정이다.
• Welch 검정: 분산이 다를 때 쓰는 두 모평균 차이 검정이다.
• 검정통계량: 표본 평균 차이를 표준오차로 나눈 t 값이다.
• 자유도: t 분포와 F 분포의 모양을 정하는 값이며 등분산 여부에 따라 계산식이 달라진다.

2. 개념 풀이

두 모평균 차이 검정의 정식 정의는 다음과 같다. 두 모집단에서 서로 독립으로 추출한 표본의 평균 x̄1, x̄2의 차이를 귀무가설이 정한 기대 차이 δ0(통상 0)과 비교하고, 그 차이를 표준오차로 나눈 검정통계량 t0로 판정한다. 원리는 다음과 같다. 두 모평균이 같더라도 표본을 뽑으면 표본 평균 차이는 표본오차 때문에 0이 아닌 값으로 나타난다. 따라서 차이의 절댓값 자체보다, 표준오차 단위로 환산한 값이 기준 분포에서 얼마나 극단적인지를 보아야 한다.

등분산이 성립한다고 판정되면 두 표본분산을 합친 풀링 분산 s_p²을 쓴다. 식은 다음과 같다.

$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}, \qquad t_0 = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

여기서 n1, n2는 각 표본의 크기, s1², s2²는 각 표본의 분산이며, 자유도는 ν = n1 + n2 − 2이다. 풀링 분산은 두 표본의 정보를 합쳐 분산 추정의 정밀도를 높이므로, 등분산 전제가 맞을 때 검정력이 좋아진다.

두 모분산이 다르다고 판정되면 Welch 검정을 쓴다. 분산을 합치지 않고 각 표본분산을 그대로 사용하며, 자유도는 Satterthwaite 근사식으로 구한다. 계산된 ν는 소수로 나오므로 버림하여 정수로 쓴다.

$t_0 = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}, \qquad \nu = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$

등분산 여부는 먼저 F 검정으로 판정한다. 두 표본분산 중 큰 값을 분자에 두어 F0 = s_큰²/s_작²를 구하고, 분자와 분모의 자유도(n−1)에 대응하는 F 분포의 기준값과 비교한다. 등분산 검정은 양측 검정이므로 유의수준 α를 양쪽으로 나눈 α/2를 적용하며, 유의수준은 유의수준 5%로 둔다. 기준값을 넘으면 등분산을 기각하고 Welch 검정을 선택한다.

판정 규칙은 대립가설의 형태로 정한다. 양측검정(μ1 ≠ μ2)이면 |t0| > t_{α/2}(ν)일 때 귀무가설을 기각한다. 단측검정(μ1 μ2)이면 t_α(ν)를 한쪽 기각역에 두고 t0의 부호를 맞춰 판정한다. 유의수준 α는 귀무가설이 참일 때 이를 잘못 기각하는 제1종 오류의 허용 확률이다.

3. 등장 배경과 필요성

공정 현장에서는 설비 교체, 원료 변경, 공법 개선 등의 전후 결과를 비교해야 하는 경우가 많다. 두 집단의 평균이 달라 보여도 산포가 크면 그 차이가 우연인지 의미 있는 차이인지 눈으로는 판단하기 어렵다. 두 모평균 차이 검정은 차이를 표준오차 단위로 바꾸고 유의수준이라는 기준을 두어, 판단을 객관적인 확률 기준으로 옮긴다. 이 점이 이 검정이 품질관리에서 기본 도구로 쓰이는 이유이다.