모평균 검정

왜 배우는가: 모평균 검정은 공정 변경이나 설비 교체 뒤 평균이 달라졌는지를 판정하는 기본 도구라서 실무 품질 판단의 출발점이 된다. 시험에서는 기준값, 표준편차, 시료 수가 주어지는 계산형 문항과 검정력이나 시료 수를 구하는 문항으로 반복해서 나온다.

출제 이력: 제119회 3교시 2번, 제115회 4교시 3번, 제109회 4교시 2번, 제98회 3교시 6번, 제97회 4교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

모평균 검정은 모집단의 평균이 기준값과 같은지를 표본평균으로 확률적으로 판정하는 가설검정이다. 답안의 첫 줄은 이 정의로 시작하고, 이어서 검정통계량과 기각 조건을 쓴다.

• 모평균: 모집단 전체 관측값의 평균으로, 검정의 대상이 되는 모수이다.
• 귀무가설(H0): 기준값과 차이가 없다고 세우는 가설로, 검정의 출발점이 된다.
• 대립가설(H1): 귀무가설과 반대로 차이가 있다고 세우는 가설로, 판정하려는 변화를 나타낸다.
• 유의수준(α): 귀무가설이 참인데 기각하는 1종 오류를 허용하는 최대 확률이다.
• 검정통계량: 표본평균과 기준값의 차이를 표준오차로 나눈 값이다.
• 기각역: 귀무가설을 기각하게 되는 검정통계량의 값 범위이다.
• 검정력: 실제로 차이가 있을 때 귀무가설을 올바르게 기각할 확률이다.
• t검정: 모분산을 모를 때 표본분산으로 대체하고 t분포를 이용하는 모평균 검정이다.

2. 개념 풀이

모평균 검정은 모집단의 평균 μ가 기준값 μ0와 같은지를 판단하는 단일 모수 검정이다. 귀무가설은 H_0: μ = μ_0로 세운다. 대립가설은 양측 검정이면 H_1: μ ≠ μ_0, 단측 검정이면 H_1: μ > μ_0 또는 H_1: μ < μ_0로 세운다. 귀무가설은 검정의 출발점이 되는 가정이고, 대립가설은 판정하려는 변화를 나타낸다.

판정의 원리는 표본평균 x̄의 분포에 있다. 중심극한정리에 따르면 x̄의 평균은 μ이고 표준편차는 σ/√n이므로, 귀무가설 아래에서 검정통계량은 다음과 같이 표준화된다.

$z_0 = (x̄ − μ_0) / (σ/√n)$

여기서 σ는 모표준편차, n은 표본 크기이다. 모분산을 알 때는 z0가 표준정규분포를 따르고, 모분산을 모르면 표본표준편차 s로 대체한 t_0 = (x̄ − μ_0)/(s/√n)가 자유도 n−1인 t분포를 따른다.

양측 검정에서 유의수준이 α=0.05이면 기각 기준은 |z_0| > z_{0.975}이고, 그 값은 1.96이다. 단측 검정에서 같은 α를 쓰면 임계값은 1.645이다. 기각역은 유의수준 α에 따라 정해지는 표준정규분포의 꼬리 영역이다. 양측 검정은 α를 양쪽 꼬리에 나누어 각 꼬리에 α/2를 두고, 단측 검정은 한쪽 꼬리에 α 전부를 둔다. 따라서 같은 자료라도 대립가설의 방향에 따라 결론이 달라질 수 있으므로 대립가설은 자료를 보기 전에 정한다.

귀무가설을 기각하지 못하는 것은 채택이 아니라 차이가 없다는 증거가 부족함을 뜻한다.

검정 결과는 p값으로도 표현한다. p값은 귀무가설이 참이라고 가정할 때 관측값 이상으로 극단적인 값이 나올 확률이며, 귀무가설이 참일 확률이나 차이의 크기를 뜻하지 않는다.

오류는 두 가지이다. 1종 오류는 귀무가설이 참인데 기각하는 오류이며 그 확률이 α이다.

2종 오류는 대립가설이 참인데 기각하지 못하는 오류이며 그 확률을 β로 쓴다. 검정력은 1−β로 정의한다.

3. 등장 배경과 필요성

공정이나 제품의 평균은 설비 교체, 작업 방법 변경, 원재료 교체처럼 변화가 생길 때마다 달라질 수 있다. 이때 측정된 평균이 기준값과 실제로 차이가 나는지, 아니면 표본 추출에서 생긴 우연한 흔들림인지를 구분해야 한다. 모평균 검정은 이 구분을 확률 기준으로 수행하는 도구이다.

점추정은 표본평균 하나로 모평균을 단정하므로 우연 오차를 드러내지 않는다. 구간추정은 모평균이 들어 있을 범위를 보여 주지만, 기준값과 다른지에 대한 판정 질문에는 직접 답하지 않는다. 가설검정은 기준값을 먼저 정한 뒤 그 기준에 대한 판단을 확률로 표현하므로 공정 변경의 효과를 평가하는 데 적합하다. 검정과 신뢰구간은 같은 추론을 서로 다른 형식으로 나타낸다.

현장에서는 모표준편차 σ를 정확히 알기 어려운 경우가 많다. 이때 과거 데이터나 예비 측정으로 얻은 표본표준편차 s를 쓰며, 이것이 2절에서 본 t검정이 실무에서 필요한 이유이다.

판정 오류의 비용도 크다. 1종 오류는 변화가 없는데 공정을 조정하는 낭비를 낳고, 2종 오류는 실제 변화를 놓쳐 공정 이상을 방치하는 위험을 만든다. 따라서 α와 β를 함께 정하고, 목표한 검정력을 얻을 표본 크기를 검정 전에 계획해야 한다.