유선망·침윤선

왜 배우는가: 흙댐과 제방의 누수량과 침윤선 위치를 예측하는 기본 도구라서 실무 설계와 사면 안정 검토에 쓰인다. 시험에서는 작도 절차와 침투유량 산정이 함께 반복해서 나온다.

출제 이력: 제111회 4교시 6번, 제89회 2교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

유선망(Flow Net)은 흙 속 침투 흐름을 유선과 등수두선이 서로 직교하는 망으로 나타낸 도해로, 침투유량과 간극수압 산정에 쓰인다.

핵심 키워드

• 유선(Flow Line): 물 입자가 지나가는 경로
• 등수두선(Equipotential Line): 전수두가 같은 점들을 이은 선
• 유로(Flow Channel): 인접한 두 유선 사이의 통로
• 등수두면(Field): 두 유선과 두 등수두선으로 둘러싸인 칸
• 침윤선(Phreatic Line): 흙댐 내부의 자유수면 상부 경계선
• 기초 포물선(Basic Parabola): 침윤선을 근사하는 포물선
• 라플라스 방정식(Laplace Equation): 정상 2차원 침투를 지배하는 식
• 침투유량(Seepage Quantity): 유선망에서 구하는 단위폭당 유량

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 물은 수위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 흙 틈을 따라 흐른다. 그 흐름의 길을 선으로 그리고, 같은 수두를 가진 점들을 선으로 이으면 두 가지 선이 생긴다. 이 두 선이 만든 격자가 유선망이다.

정식으로는, 정상상태 2차원 침투에서 유선과 등수두선이 서로 직교하도록 그린 망을 유선망이라 한다. 두 선족은 라플라스 방정식의 두 해이며, 흙이 등방이면 두 선이 항상 직교한다. 유선은 한 물 입자가 지나가는 경로이고, 등수두선은 전수두가 같은 점들을 이은 선이다.

유로는 인접한 두 유선 사이의 통로다. 등수두면은 인접한 두 등수두선과 두 유선으로 둘러싸인 칸이다. 각 유로의 유량은 같고, 인접한 등수두선 사이의 수두 손실은 같다. 이 성질 때문에 등수두면을 정사각형에 가깝게 그리면 작도가 안정된다.

유선과 등수두선은 직교하며, 인접한 유선 사이의 유량은 같다.

침윤선은 흙댐 상류 수위에서 하류로 이어지는 자유수면 경계다. 침윤선 위쪽은 대기압을 받는 흙이고, 아래쪽은 물로 포화된 영역이다. 이 경계는 미리 주어지지 않고 해를 구하는 과정에서 정해지므로, 먼저 침윤선을 근사해 그린 뒤 유선망을 그린다.

카사그란데(Casagrande)는 침윤선이 대부분의 길이에서 포물선에 가깝다는 점을 이용했다. 이 포물선이 기초 포물선이며, 초점은 하류 토에 둔다. 상류 측 보정점 C는 상류 사면의 수면 위 수평 투영길이 AB의 0.3AB 위치에 둔다. 입구와 출구 부근은 포물선과 실제 경계조건이 맞지 않으므로 보정이 필요하다.

유선망에서 단위폭당 침투유량은 q = k h n_f / n_d 로 구한다. 여기서 q는 단위폭당 유량(㎡/s), k는 투수계수(m/s), h는 전손실수두(m), n_f는 유로 수, n_d는 등수두면 수다. 식의 뜻은 유로마다 같은 유량이 흐르고, 전체 수두 h가 n_d개로 나뉜다는 것이다.

3. 등장 배경과 필요성

댐과 제방은 저수하면 제체와 기초를 통해 물이 새어 나온다. 누수는 저수량을 줄일 뿐 아니라, 하류 사면의 포화에 따른 사면 활동과 세굴, 파이핑을 일으켜 구조물 붕괴의 원인이 된다. 따라서 설계 단계에서 침투유량, 침윤선 위치, 출구 동수경사를 미리 예측해야 한다.

Darcy 법칙은 한 방향 흐름을 다루므로, 2차원·3차원 흐름을 풀려면 라플라스 방정식의 경계값 문제를 풀어야 한다. 경계가 단순한 경우에만 해석해가 얻어진다. 흙댐처럼 상류 수위, 하류 자유면, 불투수 기초가 동시에 얽힌 문제는 도해법이 실무에서 널리 쓰인 이유다. 유선망은 계산기가 없던 시절부터 쓰인 기본 도구이며, 지금도 수치해석 결과를 검토하는 기준으로 쓰인다.

침윤선을 먼저 구하는 이유는 침윤선이 제체 내 유선의 상부 경계이기 때문이다. 침윤선이 높아지면 하류 사면 쪽 포화 영역이 커져 사면 안정성이 떨어진다. 그래서 유선망 작도는 누수량 산정과 사면 안정 검토를 한 번에 연결하는 과정이다.

또 흙댐은 균질하지 않다. 중앙 차수벽, 하류 필터, 존(zone) 배치에 따라 층마다 투수계수가 달라지므로 유선이 층 경계에서 굴절한다. 이때 유선망은 굴절 규칙을 적용해 그려야 하며, 이 점이 균질 댐 작도와 구별되는 필요성이다. 필터층은 침윤선이 하류 사면을 뚫고 나오는 출구를 안전하게 배수하도록 설치하며, 출구 위치를 유선망으로 검토하는 이유도 여기에 있다.

4. 구성요소·원리·절차

유선망은 두 개의 직교하는 곡선족으로 이루어진다. 하나는 유선(Flow line)이고 다른 하나는 등수두선(Equipotential line)이다. 두 선은 서로 직각으로 만나며, 이 망을 이루는 기본 요소는 다음과 같다.

유선과 등수두선이 만든 사각형은 가능한 한 정사각형에 가깝게 그린다. 정사각형이면 유로 사이의 유량과 등수두면 사이의 손실수두가 모두 균등해진다. 이것이 유선망 작도의 핵심 원리다.

침투 원리는 Darcy 법칙과 연속방정식에서 출발한다. 등방 토질의 2차원 정상류는 다음 Laplace 방정식을 만족한다.

$\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 h}{\partial z^2}=0$

h 는 전수두(m), x, z 는 좌표(m)이다. 이 식을 풀어 얻은 두 곡선족이 유선과 등수두선이다.

단위폭당 침투유량은 다음과 같다.

$q = k\,h\,\frac{n_f}{n_d}$

q 는 단위폭당 유량(㎥/s·m), k 는 투수계수(m/s), h 는 두 지점 사이의 전손실수두(m), n_f 는 유로 수, n_d 는 등수두면 수다. 예를 들어 k=1\times10^{-5} m/s, h=6 m, n_f=4, n_d=12 이면 q=1\times10^{-5}\times6\times4/12=2\times10^{-5} ㎥/s·m 이다. 값의 크기가 흙댐 누수량 범위에 맞는지 확인한다.

흙댐의 경우 자유수면인 침윤선(Phreatic line)이 상단 경계가 되며, 이 선을 먼저 정해야 유선망을 그릴 수 있다. 침윤선은 Casagrande의 기본 포물선 방법으로 구하고, 입구·출구 보정을 거친다. 이 과정을 아래 절차로 정리한다.

• 상류 수위선과 상류 사면의 수평 투영길이 AB 를 구한다.
• 하류 사면 끝점을 포물선의 초점 F 로 잡는다.
• 점 C 를 상류 수면 끝에서 0.3AB 떨어진 곳에 둔다.
• 포물선의 성질(초점과 준선까지 거리 동일)로 기본 포물선을 작도한다.
• 입구 부분은 포물선이 상류면과 만나는 점을 수작업으로 보정하여 유선과 직교하도록 연결한다.
• 출구 부분은 하류면에서 침윤선이 수직으로 만나도록 수작업으로 보정한다. 하류 사면 경사각이 클 때는 Casagrande 도표로 보정 길이를 구한다.
• 보정된 침윤선을 상단 경계로 하여 유선과 등수두선을 교대로 그린다.
• 사각형이 대략 정사각형이 되도록 조정하고, 유로 수 n_f 와 등수두면 수 n_d 를 센다.

$\text{침윤선: } z^2 = 2p\,(\text{x}\text{축 기준 포물선으로 } p \text{ 결정})$

침윤선은 기본 포물선을 먼저 그리고 입구·출구를 보정하여 유선과 직교시킨다

AB 의 0.3배의 위치에 점 C 를 두는 것이 Casagrande 방법의 기준이다. 포물선 방정식의 상수 p 는 알려진 점 x=d, z=H 를 대입해 구한다.

5. 관련 법령·기준·표준

유선망과 침윤선은 법령으로 정해진 계산 항목이 아니라 설계기준과 교재에서 쓰는 해석 방법이다. 흙댐 설계에서는 다음 기준을 함께 본다.