Rankine 토압과 Coulomb 토압

왜 배우는가: Rankine 토압과 Coulomb 토압은 옹벽·흙막이 설계에서 주동토압을 구하는 두 기본 이론이다. 실무에서 벽체 형상과 배면 조건에 따라 어느 이론을 쓸지 판단해야 하며, 두 이론의 가정 차이가 시험에서 반복해 묻는다.

출제 이력: 제136회 3교시 6번, 제108회 2교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

Rankine 토압은 벽면마찰을 무시하고 흙을 소성평형 상태로 보아 토압을 구하는 이론이고, Coulomb 토압은 파괴 쐐기에 힘의 평형을 적용해 벽면마찰을 고려하는 이론이다.

• Rankine 토압
• Coulomb 토압
• 주동토압
• 수동토압
• 내부마찰각
• 벽면마찰각
• 활동면
• 쐐기 이론

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 흙이 벽을 밀 때 벽이 받는 힘을 계산하는 방법이다. 벽이 흙에서 멀어져 흙이 무너지려 할 때의 힘을 주동토압, 벽이 흙을 밀어 흙이 저항할 때의 힘을 수동토압이라 한다.

Rankine 이론은 1857년 Rankine이 제안했다. 흙 요소의 응력 상태를 직접 해석해 주동·수동토압계수를 구하는 응력장 해법이다. 흙은 점착력이 없고(c=0), 벽면은 마찰이 없으며, 배면 지표면은 평면이라고 가정한다. 파괴면은 평면이고 토압의 합력은 뒤채움 면에 평행하게 작용한다. 이 가정 때문에 벽면 마찰각 δ=0으로 놓는다.

Coulomb 이론은 1776년 Coulomb이 제안했다. 파괴 토체를 강체 쐐기로 보고, 쐐기에 작용하는 자중·벽면 반력·파괴면 반력의 평형식을 세운다. 파괴면을 여러 개 가정해 주동토압이 최대가 되는 면(또는 수동토압이 최소가 되는 면)을 찾는다. 벽면과 흙 사이의 벽면마찰각을 고려할 수 있다는 것이 Rankine과 다른 점이다.

흙의 내부마찰각은 전단저항의 원천이다. 파괴 포락선 기울기로 정의되며 φ로 쓴다. 두 이론 모두 이 값을 입력으로 쓴다.

3. 등장 배경과 필요성

옹벽과 흙막이 벽은 배면 흙의 측방 압력을 받는다. 이 압력을 정량적으로 구하지 않으면 벽체 두께, 기초 폭, 안정 검토를 할 수 없다. 흙의 측압은 정지토압 상태에서 벽이 움직이면 주동 또는 수동 상태로 변한다. 따라서 파괴 조건에서의 한계 토압을 구하는 이론이 필요하다.

Rankine 이론은 응력 해석으로 간단한 식을 얻을 수 있어 초기 설계에 널리 쓰인다. 다만 벽면마찰을 무시하므로 실제 벽면이 거칠거나 배면이 경사진 경우에는 과소 또는 과대 평가가 생긴다. Coulomb 이론은 벽면마찰과 지표면 경사, 벽 배면 기울기를 함께 고려해 이 한계를 보완한다. 옹벽의 중력식 설계와 벽면마찰이 큰 경우의 검토에 쓰인다.

이 두 이론은 토압 분포를 정확히 주는 것이 아니라 파괴 상태의 합력을 주는 것이다. 따라서 토압의 작용점과 분포는 별도로 가정한다. 이 점을 답안에서 명시하면 감점을 줄일 수 있다.

Rankine 주동토압계수는 Ka=tan²(45°−φ/2)

(Rankine 주동토압계수는 지표면이 수평이고 벽면이 수직인 경우의 값이다. Ka는 주동토압계수, φ는 내부마찰각이다.)

4. 구성요소·원리·절차

토압 문제의 핵심은 흙 요소가 소성 평형(plastic equilibrium) 상태에 있을 때 벽체에 작용하는 힘을 계산하는 것이다. Rankine 이론은 응력 상태(Mohr 원)로 풀고, Coulomb 이론은 파괴 쐐기의 힘 평형으로 푼다. 두 방법은 가정이 다르므로 구성요소도 다르게 본다.

구성요소를 정리하면 다음과 같다.

표 아래 설명: Rankine 은 벽체를 응력 조건만으로 풀기 때문에 배면 흙 전체의 응력 상태를 얻는다. Coulomb 은 쐐기 전체의 힘을 보므로 벽면 마찰을 넣을 수 있다. 따라서 Rankine 은 응력 분포를, Coulomb 은 합력을 직접 준다.

원리(Rankine): 깊이 z 의 연직응력은 \sigma_v = \gamma z 이고, 주동 상태에서 수평응력은 최소주응력이다. 파괴 조건에서 두 응력의 관계로 토압계수가 정해진다.

$K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi}{2}\right), \qquad K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi}{2}\right)$

여기서 K_a, K_p 는 주동·수동 토압계수(무차원), \phi 는 흙의 내부마찰각(°)이다. 수평 지표면 조건에서 K_a K_p = 1 이다.

원리(Coulomb): 파괴 쐐기에 중량 W, 파괴면 반력 R, 벽면 반력 P 를 작용시켜 힘 삼각형을 그린다. 파괴면 경사각을 바꿔 가며 P 의 최댓값(주동)·최솟값(수동)을 찾는다.

$P_a = \frac{1}{2}\gamma H^2 K_a, \qquad K_a = \frac{\sin^2(\psi+\phi)}{\sin^2\psi\,\sin(\psi-\delta)\left[1+\sqrt{\dfrac{\sin(\phi+\delta)\sin(\phi-\beta)}{\sin(\psi-\delta)\sin(\psi+\beta)}}\right]^2}$

기호: P_a 주동토압 합력(kN/m), \gamma 흙의 단위중량(kN/㎥), H 벽체 높이(m), \psi 벽체 배면 경사각, \delta 벽면마찰각, \beta 지표면 경사각. 이 식은 δ=0, β=0, ψ=90° 일 때 Rankine 식으로 줄어든다.

절차(Rankine 주동토압 산정)

• 흙의 \gamma, \phi, 지표면 경사 β 를 정한다.
• 토압계수 K_a 를 계산한다.
• 깊이 z 에서 \sigma_h = K_a \gamma z 를 구한다(c=0 인 경우).
• 깊이에 대해 적분하여 합력 P_a = \frac{1}{2}K_a\gamma H^2 을 구한다.
• 합력 작용점은 벽 저면에서 H/3 높이에 둔다.

절차(Coulomb 주동토압 산정)

• 벽 형상(ψ), 벽면마찰각 δ, 지표 경사 β 를 정한다.
• 파괴면 경사각 후보를 여러 개 가정하고 각각 쐐기 중량 W 를 구한다.
• 힘 삼각형으로 P 를 구한다.
• P 의 최댓값을 주는 파괴면을 임계면으로 택한다.
• 합력 작용점은 벽 저면에서 H/3 에 둔다(벽면 마찰을 고려해도 깊이 분포는 삼각형으로 근사한다).

Rankine 은 응력 분포, Coulomb 은 극값 탐색으로 합력을 구한다 — 두 이론의 계산 방식 차이가 답안의 핵심이다.

5. 관련 법령·기준·표준

토압 이론 자체는 법령 조문이 아니라 설계 기준과 해석 이론이다. 국내 설계에서는 옹벽·흙막이의 토압을 「건설기준 설계기준(KDS)」의 구조·지반 설계 기준에 따라 적용한다. 기준은 Rankine·Coulomb 의 계수를 쓰되, 벽면마찰각·지진토압은 별도 조건을 따른다. 아래 표는 이론별 기준값과 적용 조건을 정리한 것이다.

표 아래 설명: 벽면마찰각 상한과 합력 작용점은 시험 답안에서 자주 요구되는 기준이다. δ 상한은 흙의 전단 특성에 따라 달라지므로 δ 값은 현장 조건과 함께 적는다. Rankine 은 δ=0 을 전제하므로 벽면마찰을 쓰려면 Coulomb 을 택해야 한다.

개정 연혁: 토압 이론 자체는 1857년 Rankine, 1776년 Coulomb 이 제안한 고전 이론이므로 법령 개정과 무관하다. 설계 기준의 적용 방식은 시대별로 달라졌으며, 최신 설계 기준은 현행 KDS 체계를 따른다.

6. 유형과 비교

Rankine 토압과 Coulomb 토압은 모두 한계평형 상태에서 주동·수동 토압을 구하지만, 가정하는 벽면 조건과 파괴면 형상이 다르다. 두 이론을 비교하면 어느 쪽이 더 보수적인 값을 주는지, 어떤 조건에서 어느 이론을 택해야 하는지를 설명할 수 있다.