소성유동법칙

왜 배우는가: 소성유동법칙은 흙이 항복 이후 어떤 방향으로 얼마나 소성변형하는지를 정하는 규칙이라서 탄소성 해석, 사면과 기초의 파괴 해석, 수치해석 모델의 변형 방향 설정에 바로 쓰인다. 그래서 토질역학 기술사 시험에서 소성론 기초 개념과 연계해 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제123회 4교시 5번, 제100회 1교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄에 쓸 정의:

소성유동법칙은 항복 후 소성변형률 증분의 방향과 크기를 항복면 또는 소성포텐셜의 기울기로 정하는 관계식이다.

핵심 키워드

• 소성변형률 증분(plastic strain increment)
• 항복함수(yield function)
• 소성포텐셜(plastic potential)
• 연합흐름법칙(associated flow rule)
• 비연합흐름법칙(non-associated flow rule)
• 수직성 조건(normality condition)
• 팽창각(dilation angle)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 흙이 항복한 뒤에 변형이 '어느 쪽으로' 일어나는지를 정하는 규칙이다. 힘을 가하면 흙은 탄성 변형과 소성 변형을 함께 겪는다. 탄성 변형은 힘을 빼면 돌아오지만 소성 변형은 남는다. 소성유동법칙은 그 남는 변형이 어떤 방향인지 알려준다.

정식 정의는 다음과 같다. 소성변형률 증분 벡터의 방향은 소성포텐셜 g의 응력에 대한 기울기 \partial g/\partial\sigma 방향과 같다고 둔다. 식으로는 다음과 같다.

$d\varepsilon^p = d\lambda \frac{\partial g}{\partial \sigma}$

여기서 d\varepsilon^p는 소성변형률 증분, d\lambda는 0 이상의 소성 승수(스칼라), g는 소성포텐셜, \sigma는 응력이다.

항복함수는 응력 상태가 항복 상태인지 판정하는 함수 f(\sigma)=0이다. 흙에서는 주로 Mohr-Coulomb 항복면이 쓰인다. 항복면 자체는 소성 변형의 시작을 정하고, 소성포텐셜은 변형의 방향을 정한다.

소성포텐셜은 소성변형률 증분의 방향을 만드는 함수다. 소성포텐셜 g가 항복함수 f와 같으면 연합흐름법칙이다. 다르면 비연합흐름법칙이다.

수직성 조건(normality condition)은 소성변형률 증분 벡터가 항복면의 바깥 법선과 같은 방향이라는 조건이다. 연합흐름법칙은 이 조건을 따른다.

흙은 금속과 달리 평균응력(압력)에 따라 항복면이 달라지고, 전단 시 체적이 변하는 다일러턴시(dilatancy)를 보인다. 그래서 흙에서는 소성포텐셜을 항복함수와 다르게 잡는 비연합흐름법칙을 쓰는 경우가 많다. Mohr-Coulomb 항복면은 모서리가 있어서 소성 흐름 방향을 정하기 불편하고, 부드러운 소성포텐셜을 쓰며 팽창각으로 체적 변화를 나타낸다고 설명한다.

3. 등장 배경과 필요성

초기 탄성 이론으로는 항복 이후의 영구 변형을 설명할 수 없었다. 금속 소성론에서 먼저 정리된 소성 흐름 규칙을 흙에 옮기면서 소성유동법칙이 체계화되었다. 흙의 강도와 변형을 함께 다루는 탄소성 모델이 발전하면서 필요성이 커졌다.

실무에서는 사면 안정, 기초 지지력, 흙막이 벽체 변형 해석에서 소성 흐름 방향이 해석 결과를 크게 바꾼다. 예를 들어 팽창각을 0으로 두는 연합흐름법칙을 쓰면 체적 팽창을 과대 또는 과소 평가할 수 있다. 그래서 흐름법칙의 선택이 설계 해석의 핵심 판단 항목이 된다.

흐름법칙은 항복면의 형태와 함께 정해지므로, 모델을 고를 때 두 가지를 함께 확인해야 한다. 항복면이 어떤 응력 불변량을 쓰는지, 그리고 소성포텐셜이 항복면과 같은지 여부다.

4. 구성요소·원리·절차

소성유동법칙(Plastic Flow Rule)은 항복 이후 소성 변형률 증분의 방향과 크기를 정하는 관계다. 흙은 항복 후 변형률이 응력 상태에 따라 어느 방향으로 자라는지를 이 법칙으로 정한다. 탄성 변형률은 후크의 법칙으로 따로 계산하고, 소성 변형률만 소성유동법칙으로 계산한다.

원리는 다음과 같다. 소성포텐셜 함수 g를 정하면 소성 변형률 증분은 그 함수의 기울기 방향으로 생긴다. 식은 d\varepsilon^p_{ij}=d\lambda\,\partial g/\partial\sigma_{ij} 이다. 여기서 d\varepsilon^p_{ij}는 소성 변형률 증분(무차원), d\lambda는 양(+)의 소성 승수(스칼라), g는 소성포텐셜(kPa), \sigma_{ij}는 응력 텐서(kPa)다. 항복함수 f와 소성포텐셜 g가 같으면 연합 소성유동법칙(associated flow rule)이라 하고, 다르면 비연합 소성유동법칙(non-associated flow rule)이라 한다. 흙은 대부분 비연합 법칙을 쓴다. 이는 흙의 팽창(다일러턴시)이 마찰각과 같지 않기 때문이다.

소성 변형률 증분의 방향은 소성포텐셜 함수의 기울기로 정한다

전 변형률 증분은 탄성 성분과 소성 성분의 합으로 쓴다. 식은 d\varepsilon_{ij}=d\varepsilon^e_{ij}+d\varepsilon^p_{ij} 이다. 탄성 성분은 탄성 구성식에서, 소성 성분은 위 흐름 법칙에서 얻는다.

계산 절차는 다음과 같다.

• 응력 증분 d\sigma_{ij}를 준다.
• 항복함수 f의 값을 계산하고 항복 여부를 판정한다. 항복하지 않으면 탄성 해석만 한다.
• 항복하면 소성포텐셜 g의 기울기로 방향 벡터를 구한다.
• 경화 법칙으로 d\lambda를 정한다.
• d\varepsilon^p_{ij}=d\lambda\,\partial g/\partial\sigma_{ij}로 소성 변형률 증분을 구한다.
• 탄성 변형률 증분을 더해 전 변형률 증분을 얻는다.

흙의 소성포텐셜은 보통 팽창각 \psi를 써서 만든다. 평면변형률 조건의 Mohr-Coulomb 계열에서는 \sin\psi를 쓰며, 이는 흙의 체적 변화 방향을 정한다. 그림은 아래와 같다.

5. 관련 법령·기준·표준

소성유동법칙은 법령 조문이 아니라 재료 역학의 이론이다. 따라서 조문 번호는 쓰지 않는다. 설계 현장에서는 이 법칙을 수치해석 모델에 넣어 쓰며, 그 근거는 다음 기준 체계에 있다.

흙의 기본 조건은 다음과 같다. 연합 흐름 법칙에서는 ψ=φ 로 둔다. 비연합 흐름 법칙에서는 ψ<φ 로 둔다. 사질토에서 팽창각을 작게 두는 경우가 흔하다. 조밀한 모래는 팽창각이 크고, 느슨한 모래는 팽창각이 작다.

국내 설계 기준은 한국 설계기준(KDS)의 지반 분야 기준과 해석 지침을 따르며, 구체적 해석 조건은 해당 기준의 지반 해석 항목에 따른다. 법령의 개정 연혁은 본 절의 범위가 아니다.