지중응력증가량

왜 배우는가: 지중응력증가량은 기초·제방·성토가 지반 속 임의 깊이에 주는 응력을 예측하는 계산이라, 침하량 산정과 안정 검토의 출발점이다. 시험에서는 Boussinesq·Westergaard·Osterberg 해법을 비교하거나 영향계수로 직접 계산하는 문제로 반복해서 나온다.

출제 이력: 제120회 4교시 6번, 제100회 1교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

지중응력증가량(Stress Increment in Soil)은 지표면의 상재하중이나 구조물 하중으로 지반 내부 임의 깊이에 추가로 생기는 응력 증가분이며, 탄성론 해법으로 구한다.

핵심 키워드

• 지중응력증가량(Stress Increment)
• Boussinesq 해법
• Westergaard 해법
• Osterberg 영향계수
• 2:1법
• 상재압력(Overburden Pressure)
• 등분포하중
• 포아송비

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 땅 위에 무언가를 올리면 그 무게가 땅속으로 퍼져 내려가고, 깊이마다 늘어난 응력의 크기가 다르다는 뜻이다. 이때 늘어난 만큼의 응력이 지중응력증가량이다.

정식으로는 지반 내 임의 점에서 하중 재하 이후의 응력에서 재하 이전의 응력을 뺀 값이다. 흙 자체의 무게로 생긴 상재압력과 구별하여, 외부 하중으로 새로 생긴 증가분만 다룬다. 지반 내 응력은 상재압력과 지표 재하 하중에 의한 증가량의 합으로 나타낸다.

Boussinesq 해법은 균질·등방·탄성 반무한체를 가정하고, 지표면의 집중하중에 의한 응력을 구한다. 이를 적분하여 원형·직사각형 등분포하중의 응력을 얻는다. 흙이 전단에 의해 옆으로 퍼지는 것을 허용하는 모델이다.

Westergaard 해법은 수평방향 변위가 구속된 층상 탄성체를 가정한다. 얇은 층이 여러 겹 있거나 수평 방향 강성이 큰 지반에 적합하다. 같은 하중에서 Boussinesq보다 연직응력이 작게 나오는 것이 특징이다.

Osterberg 영향계수는 직사각형 등분포하중 아래 임의 점의 응력을 표의 영향계수 I_2로 구하는 방법이다. 기초 모서리와 중앙을 구분하여 적용한다.

2:1법은 하중이 깊이에 따라 2 수평 : 1 수직 비율로 넓게 퍼진다고 보는 근사법이다. 계산이 간단하지만 정밀도는 낮다.

3. 등장 배경과 필요성

지반 위에 성토, 제방, 건물이 세워지면 기초 아래 흙은 압축된다. 이 압축량이 침하량이다. 침하량을 구하려면 각 깊이의 응력 증가량을 알아야 한다. 따라서 지중응력증가량 산정은 침하 검토의 첫 단계다.

초기에는 지반을 완전탄성체로 가정한 Boussinesq 해가 널리 쓰였다. 이후 층상 지반과 점토층의 구속 조건을 반영한 Westergaard 해가 제안되었다. 현장에서는 복잡한 하중 형태를 간단히 풀기 위해 영향계수표와 2:1법이 함께 쓰인다. 해법마다 가정이 달라 결과 차이가 생기므로, 조건에 맞는 해법을 고르는 판단이 중요하다.

지중응력증가량은 탄성론 가정에 따라 해법이 다르므로 가정 차이를 설명해야 한다.

이 값을 알아야 압밀침하 계산, 지지력 검토, 사면 안정 검토가 가능해진다. 특히 연약 점토지반에서는 응력 증가량이 침하의 크기를 좌우하므로 정확한 산정이 필요하다.

깊이 2배 증가 시 응력 감소 경향은 하중 분산의 기본 경향을 보여 주는 개념이다.

4. 구성요소·원리·절차

지중응력증가량은 지표면에 가해진 하중(상재하중, surcharge)이 흙 속 임의 깊이의 점에 전달되어 생기는 응력의 증가분이다. 이 증가분은 Boussinesq 해법, Westergaard 해법, 그리고 실무에서 많이 쓰는 Osterberg 영향계수법(2:1법 및 대상·직사각형 등분포하중 해법) 으로 구한다. 응력 증가량을 구하는 과정은 하중의 형태, 재하 면적의 모양, 점의 위치를 먼저 정하고 그에 맞는 영향계수를 곱하는 순서로 정리된다.

위 표는 지중응력 계산에 쓰이는 입력 요소를 정리한 것이다. 하중의 형태가 달라도 응력 증가량의 기본형은 같으며, 영향계수만 바뀐다.

지중응력 증가량 계산의 기본 원리는 다음과 같다. 탄성체인 지반에 작용한 하중은 깊이가 커질수록 넓게 퍼지므로 같은 하중이라도 깊은 곳의 응력 증가량은 작아진다. 이 감소 경향을 영향계수로 표현한다. 지중응력은 깊이가 커질수록 감소하고, 수평 거리가 멀어질수록 감소한다는 점이 Boussinesq 해와 Westergaard 해의 공통된 모양이다.

Boussinesq 해는 균질하고 등방인 탄성 반무한체를 가정하며 집중하중에 대해 다음 식을 준다.

$\Delta\sigma_z = \frac{3Q}{2\pi z^2}\cdot\frac{1}{\left[1+(r/z)^2\right]^{5/2}}$

여기서 \Delta\sigma_z는 깊이 z 점의 연직응력 증가량(kPa), Q는 집중하중(kN), z는 깊이(m), r은 하중 작용점으로부터의 수평거리(m)다.

Westergaard 해는 층상 구조처럼 횡방향 변형이 구속된 지반을 가정하며 포아송비가 0에 가까운 경우에 쓰인다. 따라서 Boussinesq 해보다 연직응력 증가량이 작게 나오는 경향이 있다. 이 차이는 지반의 강성 가정에서 생기며, 실무에서는 지반 조건에 맞는 해법을 고른다.

실무 절차는 다음과 같다.

• 하중의 종류(집중·선·띠·면)와 재하 크기(q 또는 Q)를 정한다.
• 응력을 구할 점의 깊이 z와 수평 위치(재하 중심으로부터의 거리)를 정한다.
• 하중 형태에 맞는 해법(Boussinesq, Westergaard, 2:1법)을 고른다.
• 영향계수 I를 식 또는 도표에서 구한다.
• \Delta\sigma_z = I \times q로 응력 증가량을 계산하고 단위를 확인한다.

제방처럼 두께가 있는 등분포 하중은 제방 단면을 여러 개의 띠하중으로 나누어 각 띠의 영향을 더하거나, 제방 하중을 하나의 등가 등분포 하중 q = γ × H로 바꾸어 Osterberg 영향계수 표에서 I2를 읽는다. 여기서 q는 제방 중량에 따른 등분포 하중이며 γ는 흙의 단위중량(kN/m3), H는 제방 높이(m)다.

5. 관련 법령·기준·표준

지중응력증가량은 「위험물안전관리에 관한 세부기준」 같은 법령 기준을 직접 따르지 않는다. 설계 기준은 지반공학 교재와 설계기준(KDS 체계의 지반 설계 기준)에서 다루며, 아래 표는 본 절의 계산에 쓰이는 기준값과 조건을 정리한 것이다. 제시된 법령 원문에는 지중응력에 관한 조항이 없으므로 표의 값은 지반공학의 기본 이론과 문제에 주어진 영향계수표에 근거한다.

표의 값은 계산 조건을 한눈에 보게 한 것이다. 서술형 답안에서는 정지토압계수와 단위중량, 영향계수 사용 원칙을 중심으로 쓰면 충분하다.

개정 연혁: 지중응력 해법 자체는 Boussinesq(1885년)와 Westergaard(1938년)의 이론이 기본이며, 이후 실무 설계기준에서 영향계수표 형태로 정리되어 왔다.

한편 제방과 같이 두께가 있는 하중은 2:1법 같은 근사법을 쓸 수 있다. 2:1법은 하중이 깊이에 따라 2:1 비율로 퍼진다고 가정하는 간이법이며, 엄밀한 탄성해보다 보수적인 결과를 주는 경향이 있다.

6. 유형과 비교

지중응력증가량 산정법은 하중 형태와 가정에 따라 여러 해법으로 나뉜다. 가장 기본이 되는 해법은 집중하중(point load) 에 의한 응력이며, 선하중·띠하중·원형 등분포하중·직사각형 등분포하중의 해는 이 집중하중 해를 적분하거나 중첩해서 얻는다. 따라서 해법의 차이는 하중 모델과 흙의 가정에서 생긴다.