Bishop 간편법 적용성

왜 배우는가: Bishop 간편법은 원호활동 사면안정해석에서 가장 널리 쓰이는 한계평형법이며, 지반 지지력과 사면 안정성을 함께 다루는 토질및기초 기술사 시험에서 적용 조건과 한계를 묻는 문제로 자주 나온다. 실무에서는 전응력·유효응력 해석의 기본 도구로 쓰이므로 원리와 수렴 방식, 한계를 함께 이해해야 한다.

출제 이력: 제137회 1교시 10번, 제93회 1교시 13번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

Bishop 간편법은 활동토체를 연직 절편으로 나누고 절편 사이 전단력을 무시한 채 모멘트 평형으로 원호활동면의 안전율을 구하는 한계평형법이다.

• Bishop 간편법(Bishop's Simplified Method)
• 원호활동(Circular Slip Surface)
• 절편법(Method of Slices)
• 절편 간 수직력(Interslice Normal Force)
• 안전율(Factor of Safety, Fs)
• 반복계산(Iterative Procedure)
• 모멘트 평형(Moment Equilibrium)

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 흙덩이가 원호 모양으로 미끄러질 때, 그 흙덩이를 얇은 세로 조각으로 나누어 각 조각이 버틸 힘과 미끄러지려는 힘을 비교하는 방법이다. Bishop 간편법은 이 과정을 원의 중심에 대한 모멘트 평형으로만 정리한다.

정식으로는 Bishop(1955)이 제안한 방법으로, 절편 사이의 수직력은 고려하고 절편 사이의 전단력은 0으로 가정한다. 이 가정으로 절편 저면의 수직력이 정리되고, 안전율이 양변에 함께 들어 있는 비선형 식이 된다. 따라서 안전율은 시행착오(반복계산)로 구한다.

핵심 용어를 풀면 다음과 같다. 절편 간 수직력은 인접한 절편이 서로 누르는 힘이다. 절편 간 전단력은 인접 절편 경계에서 상하로 작용하는 힘으로, 간편법에서는 이를 0으로 둔다. 모멘트 평형은 회전중심에 대한 전체 저항 모멘트와 활동 모멘트가 같다는 조건이다. 힘의 수평·수직 평형은 완전히 만족하지 않으므로 비엄밀법(non-rigorous method)으로 분류된다.

원리를 한 줄로 보면, 저항 모멘트를 활동 모멘트로 나눈 값이 안전율이며 이 값을 식 안에 다시 넣어 수렴시킨다. 시험에서는 '절편 간 전단력 무시', '모멘트 평형만 만족', '반복계산 필요'의 세 가지를 반드시 쓴다.

3. 등장 배경과 필요성

20세기 초 Fellenius가 절편법을 도입한 뒤 Fellenius 방법은 절편 사이의 힘을 모두 무시했다. 이 때문에 간극수압이 크거나 활동면이 깊은 경우 안전율이 낮게 나오는 문제가 있었다. Bishop은 절편 사이의 수직력을 도입해 이를 개선하였다.

그 결과 안전율 계산 정확도가 향상되었고, 손계산이 가능할 만큼 수렴이 빨라 실무에 널리 채택되었다. 이후 Spencer, Morgenstern-Price 같은 엄밀법이 나왔지만, 간편하고 결과가 대체로 안정적이어서 설계 초기 검토에서 여전히 기준으로 쓰인다.

실무에서 필요한 이유는 다음과 같다. 원호 파괴가 일어나는 균질 토사사면을 빠르게 검토할 수 있고, 전응력과 유효응력 해석 모두에 쓸 수 있으며, 활동면의 안전율을 여러 번 바꿔 비교하기 쉽다. 다만 불균질 지반이나 비원호 파괴에는 적합하지 않으므로, 그 한계를 함께 알아야 적용 여부를 판단할 수 있다.

안전율 수렴 허용오차는 설계 기준에 따라 정한다.

4. 구성요소·원리·절차

Bishop 간편법은 활동토체를 연직 절편으로 나누고, 각 절편의 힘 평형과 회전중심에 대한 모멘트 평형으로 안전율(Factor of Safety, FS)을 구하는 방법이다. 절편 간 전단력은 무시하고 절편 간 수직력(법선력)의 작용선이 일치한다고 가정한다. 이 가정으로 안전율 식에 안전율 자신이 포함되어 반복계산이 필요하다.

구성요소는 다음과 같다.

각 구성요소는 절편 저면의 마찰저항과 활동력을 계산하는 데 쓰인다. 절편 저면의 마찰저항은 전단강도에서 나오므로 점착력 c와 마찰각 φ가 함께 들어간다.

원리는 회전중심 O에 대한 모멘트 평형이다. 활동모멘트에 대한 저항모멘트의 비가 안전율이 된다. 절편 간 전단력을 무시했기 때문에 힘 평형 조건 중 일부를 만족하지 않는 비엄밀해법(non-rigorous method)에 속한다.

계산 절차는 다음과 같다.

• 가상활동면(원호)을 선정하고 회전중심과 반지름 R을 정한다.
• 활동토체를 계산 방식(손계산·컴퓨터)에 맞는 적정 개수의 연직 절편으로 나눈다. 각 절편 저면이 단일 토층 안에 있도록 나눈다.
• 각 절편의 중량 W, 저면 길이 l, 저면 경사각 α, 간극수압 u를 구한다.
• 초기 안전율 F를 가정한다. 보통 Fellenius 안전율을 초기값으로 쓴다.
• 식에 F를 대입해 새 안전율을 구한다. 두 값의 차가 허용오차보다 작아질 때까지 반복한다.
• 수렴한 안전율을 해당 활동면의 안전율로 한다.
• 여러 가상활동면에 대해 반복하여 최소 안전율을 임계 안전율로 정한다.

안전율 식은 다음과 같이 쓴다.

$F = \frac{\sum \left[c'b + (W-ub)\tan\phi'\right]\dfrac{1}{m_\alpha}}{\sum W\sin\alpha}$

$m_\alpha = \cos\alpha\left(1+\dfrac{\tan\alpha\tan\phi'}{F}\right)$

여기서 c'는 유효점착력, φ'는 유효마찰각, b는 절편 폭, W는 절편 중량, u는 절편 저면 간극수압, α는 절편 저면 경사각이다. 안전율 F가 식의 양변에 나오므로 시행착오로 푼다.

수렴은 보통 빠르고 손계산도 가능하다. 다만 m_α 항의 (1+tanα·tanφ'/F)이 0에 가까우면 안전율이 과대평가되고, 음수가 되면 해가 부정확해진다. 이 항은 사면 선단부에서 활동면 경사가 매우 급하고 α가 큰 음수일 때 생길 수 있다.

절편 간 전단력 무시가 Bishop 간편법의 핵심 가정이다

5. 관련 법령·기준·표준

Bishop 간편법은 법령으로 해석법이 정해진 방법이 아니다. 사면 설계는 국가·발주처 설계기준과 지반조사 기준을 따른다. 건설 분야 설계 기준은 KDS 코드 체계를 따르고, 사면 관련 세부 해석 기준은 「건설기술 진흥법」에 따른 설계기준이 기본이다. 사면 안정 기준값은 해석 조건(전응력·유효응력), 하중 조건(상시·지진시·강우시)에 따라 다르다.

기준 수치는 다음 표로 정리한다. 안전율 기준은 설계 조건에 따라 다르므로 표 안의 값은 일반적으로 쓰이는 값이다.

해석 방법 측면에서는 다음과 같이 구분한다.

엄밀해법인 Spencer법과 Morgenstern-Price법은 힘과 모멘트 평형을 모두 만족한다. Bishop 간편법은 모멘트 평형만 만족하므로 비엄밀해법으로 분류된다. 비원호 활동이나 복합 파괴에는 엄밀해법을 쓰는 것이 원칙이다.

관련 기준의 개정 연혁은 이 절에서 확인된 내용이 없으므로 쓰지 않는다. 법령 명칭은 현행 이름 기준으로 쓴다.

6. 유형과 비교

사면 안정해석에서 절편법은 활동면의 형상과 절편 간 힘 작용 방식에 따라 여러 방법으로 나뉜다. 대표적인 방법은 Fellenius 방법, Bishop 간편법, Janbu 방법, Spencer 방법, Morgenstern-Price 방법이다. 이들은 평형 조건을 얼마나 만족하는지에 따라 엄밀법과 비엄밀법으로 구분된다.