전단탄성계수·변형계수

왜 배우는가: 흙의 전단탄성계수와 변형계수는 지반 침하와 변형을 예측하는 기본 입력값이어서 실무의 침하 해석, 기초 설계, 지반 진동 해석에 쓰인다. 두 정수의 정의와 상호 관계는 시험에서 반복적으로 출제되는 기본 개념이다.

출제 이력: 제138회 1교시 2번, 제134회 1교시 11번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

전단탄성계수(G)는 전단응력과 전단변형률의 비이며, 변형계수(E)는 흙의 응력-변형률 관계에서 구한 하중 대비 변형의 크기를 나타내는 계수로, 두 값 모두 흙의 강성을 나타낸다.

핵심 키워드

• 전단탄성계수(G): 전단응력 대 전단변형률의 비
• 변형계수(E): 응력 대 변형률의 비, 탄성계수 또는 영률과 같은 계열
• 포아송비(ν): 축방향 변형에 대한 횡방향 변형의 비
• 할선계수: 원점과 특정 응력점을 잇는 기울기로 정한 변형계수
• 탄성 상수 관계식: G = E / {2(1+ν)}
• 지반 강성: 흙이 하중에 저항하는 정도
• 비선형 거동: 흙의 응력-변형률 곡선이 처음부터 휘는 성질

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 흙을 누르거나 비틀었을 때 얼마나 버티며 얼마나 변하는지를 수치로 나타낸 것이다. 흙은 금속처럼 직선 구간이 뚜렷하지 않으므로 같은 흙이라도 기준을 어디에 두느냐에 따라 값이 달라진다.

정식 정의로는 전단탄성계수 G는 층밀림(전단)응력 τ를 전단변형률 γ로 나눈 값이다. 식으로는 G = τ / γ 이며 단위는 kPa 또는 MPa이다. 전단 변형은 체적을 바꾸지 않고 모양만 바꾸는 변형이므로 G는 흙의 전단 강성을 나타낸다.

변형계수 E는 수직응력 증분 Δσ를 그에 따른 수직변형률 Δε으로 나눈 값이다. 식으로는 E = Δσ / Δε 이다. 흙에서는 하중 단계에 따라 접선계수, 할선계수, 재하계수 등으로 나누어 쓴다.

핵심 용어는 두 가지다. 첫째, 전단탄성계수는 전단변형률에 대한 전단응력의 비율이다. 둘째, 변형계수는 응력과 변형률의 비율로, 흙의 침하 계산에 직접 쓰인다.

두 정수는 모두 탄성 상수로 불리지만, 흙은 완전한 탄성체가 아니므로 탄성 구간의 기울기를 정하는 기준이 필요하다. 이 기준이 할선계수나 접선계수의 선택이다.

3. 등장 배경과 필요성

지반공학에서 침하량은 탄성 이론으로 계산하는 경우가 많다. 이때 입력값으로 변형계수가 필요하다. 흙의 강도정수(점착력, 내부마찰각)만으로는 하중 작용 시의 변형량을 알 수 없으므로 강성 정수가 별도로 필요해졌다.

실내시험에서는 삼축압축시험과 일축압축시험으로 응력-변형률 곡선을 얻고, 그 기울기에서 변형계수를 구한다. 현장에서는 평판재하시험과 공내재하시험, 탄성파 시험으로 값을 얻는다. 시험 방법에 따라 같은 흙의 값이 다르게 나오므로 적용 시험을 함께 기록해야 한다.

전단탄성계수는 지진 응답 해석과 동적 해석에서 특히 중요하다. 전단파 속도 Vs와 밀도 ρ를 알면 G = ρVs² 로 구할 수 있다. 따라서 G는 탄성파 시험과 직접 연결되는 값이다.

• 침하 계산: 변형계수 E가 입력값
• 동적 해석: 전단탄성계수 G가 입력값
• 두 값은 포아송비 ν로 서로 환산한다

4. 구성요소·원리·절차

4. 구성요소·원리·절차

토압 및 토질정수 영역에서 전단탄성계수(Shear Modulus, G)와 변형계수(Deformation Modulus, E 또는 E_s)는 흙이 하중을 받을 때 변형이 얼마나 쉽게 생기는지를 나타내는 탄성 상수다. 두 값은 이름이 비슷하지만 측정 조건과 적용 대상이 다르다. 전단탄성계수는 전단응력과 전단변형도의 비이고, 변형계수는 수직응력과 수직변형도(또는 응력 증분과 변형 증분)의 비로 정의된다. 따라서 두 값을 구분하려면 응력 방향과 변형의 종류부터 구분해야 한다.

구성요소는 다음과 같이 정리한다.

전단탄성계수 G와 변형계수 E는 등방 탄성체에서 다음 관계를 따른다.

$E = 2G(1+\nu)$

여기서 E는 변형계수(kPa 또는 MPa), G는 전단탄성계수(kPa 또는 MPa), ν는 포아송 비(무차원)다. 이 식은 E = 2G(1+ν) 로 외워 두고, 부피탄성계수 K와 함께 쓰는 식 E = 3K(1−2ν) 는 필요할 때 보조로 쓴다.

원리는 다음과 같다. 흙은 비선형 재료이므로 응력–변형률 곡선은 초기부터 굽는다. 따라서 탄성계수는 시험 응력 범위에 따라 값이 달라진다. 작은 변형 영역의 접선 값은 초기 탄성계수(또는 최대 전단탄성계수 G_max)이고, 실제 설계에서 쓰는 할선 값은 특정 변형률에서의 할선 기울기다. 탄성파를 이용하면 미소 변형 영역의 G_max를 얻는다.

흙의 G_max는 탄성파 속도로 구한다.

$G_{max} = \rho \cdot V_s^2$

여기서 G_max는 최대 전단탄성계수(kPa), ρ는 흙의 밀도(kg/㎥), V_s는 전단파 속도(m/s)다. 단위를 맞추면 ρ(kg/㎥)·V_s²(m²/s²) = Pa 이다.

계산 예는 다음과 같다. 주어진 값은 ρ = 1,800kg/㎥, V_s = 200m/s 이다. 공식에 대입하면 G_max = 1,800 × 200² = 72,000,000Pa = 72MPa 이다. 결과는 점성토 또는 느슨한 사질토의 미소 변형 강성 범위에 해당하므로 상식 범위다.

절차는 다음 순서로 수행한다.

• 시험 목적을 정한다. 미소 변형 강성(G_max)인지, 설계 변형 범위의 변형계수(E)인지 구분한다.
• 시료를 채취하고 밀도와 함수비를 측정한다.
• 탄성파(전단파 또는 압축파) 속도를 측정하거나 공진주 시험을 수행한다.
• 전단탄성계수 G를 식으로 산정하고 포아송 비 ν를 가정한다.
• 변형계수 E를 E = 2G(1+ν) 로 환산하거나, 재하시험 곡선에서 할선 기울기로 직접 구한다.
• 설계 변형률 수준에 맞는 값을 선택하고 감소 곡선으로 보정한다.

5. 관련 법령·기준·표준

토질정수 중 전단탄성계수와 변형계수는 대부분 설계기준과 시험기준에 규정된다. 설계 기준으로는 건설기준 설계기준(KDS, 지반 분야)과 KDS 지반 관련 설계기준이 있다. 시험 방법은 한국산업표준(KS)의 지반 시험 규격과 공공 지반조사 지침을 따른다. 법령 조항 번호는 확실하지 않으므로 기준 이름만 쓴다.

기준 수치와 조건은 다음 표로 정리한다.

표의 포아송 비 범위는 흙의 배수 상태에 따른 일반적 값이다. 설계에서는 현장 시험 결과와 지반조사 보고서 값을 우선 쓴다. 변형계수는 재하시험(평판재하시험)과 실내 삼축시험으로 얻으며, 시험 응력 범위에 따라 값이 크게 달라지므로 설계 변형률 수준을 명시한다.

개정 연혁으로는 지반 설계기준이 한국형 설계기준(KDS) 체계로 정리된 이후 지반 강성 산정 방법이 탄성파 기반 G_max 산정과 변형률 의존 감소 곡선 적용으로 정착되었다. 구체적인 개정 연도와 조항 번호는 확인되지 않아 쓰지 않는다.

6. 유형과 비교

흙의 탄성 거동은 시험 방법과 변형의 방향에 따라 여러 계수로 나뉜다. 전단탄성계수(전단탄성계수, shear modulus G)는 전단응력과 전단변형률의 비이고, 변형계수(변형계수, deformation modulus E_d)는 하중-침하 또는 응력-변형률 곡선에서 구한 할선 기울기이다. 두 값은 같은 흙을 대상으로 하더라도 구하는 방법과 가정하는 변형 상태가 다르므로 구분해 써야 한다.