침투유량

왜 배우는가: 침투유량은 댐, 방조제, 흙막이 널말뚝처럼 수위차가 있는 구조물의 누수량과 차수 효과를 정량화하는 기본 개념이다. 시험에서는 유선망 문제와 함께 간극수압, 출구 동수경사를 묶어 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제135회 2교시 6번, 제103회 2교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

침투유량은 흙 속을 흐르는 물이 단위 시간당 단면을 통과하는 양으로, 투수계수와 수두차, 유로 구조로 정해진다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 침투유량(Seepage Flow Rate): 단위 시간에 지반 속을 통과하는 물의 양이다. 단위 폭당으로 나타내면 m³/s·m 이다.
• 투수계수(Coefficient of Permeability): 물이 흙 속을 흐르기 쉬운 정도를 나타내는 값이다.
• 전손실수두: 상류와 하류 사이에서 흐름 때문에 잃는 전수두의 차이다.
• 유로 수(Nf): 인접한 두 유선 사이에 생기는 흐름 통로의 개수다.
• 등수두면 수(Nd): 인접한 두 등수두선 사이 수두강하 구간의 개수다.
• 유선망(Flow Net): 유선과 등수두선이 이루는 망으로, 흙 속 흐름을 그림으로 나타낸 것이다.
• 등방 토질: 어느 방향으로도 투수계수가 같은 흙이다.
• 등가 투수계수: 비등방·비균질 지반의 투수계수를 하나의 값으로 환산한 것이다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 말하면, 물은 흙 입자 사이의 틈을 따라 수위가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 흐른다. 흐름의 양은 틈이 얼마나 잘 이어져 있는지와 앞뒤 수위차에 따라 정해진다.

정식으로는, 침투유량은 지반 내 흐름을 유선과 등수두선으로 표현한 뒤 계산한 흐름의 양이다. 흐름의 기본 관계는 Darcy 법칙 q = kiA 이다. 여기서 q는 유량, k는 투수계수, i는 동수경사, A는 흐름 단면적이다.

흐름의 원동력은 전수두 차이다. 전수두는 위치수두와 압력수두의 합이다. 흙 속의 물은 전수두가 높은 곳에서 낮은 곳으로 움직인다. 간극수압은 압력수두에 물의 단위중량을 곱해 구한다. 따라서 침투유량을 구하는 일과 간극수압을 구하는 일은 같은 전수두 분포를 기준으로 한다.

핵심 용어는 다음과 같다.

유선은 물 입자가 지나가는 흐름의 경로다. 등수두선은 전수두가 모두 같은 점을 이은 선이다. 유로는 인접한 두 유선 사이의 흐름 통로이고, 등수두면은 인접한 두 등수두선 사이의 공간이다.

유선망의 성질은 다음과 같다.

• 유선과 등수두선은 서로 직교한다.
• 유선과 등수두선으로 이루어진 요소는 정사각형에 가깝게 그린다.
• 인접한 두 유선 사이의 침투수량은 모두 같다.
• 인접한 두 등수두선 사이의 손실수두는 모두 같다.

이 성질 때문에 유선망에서 유로 수와 등수두면 수만 세면 침투유량을 구할 수 있다. 등방 토질에서 단위 폭당 침투유량은 다음과 같다.

$q = k h \frac{N_f}{N_d}$

여기서 q는 단위 폭당 침투유량(m³/s·m), k는 투수계수(m/s), h는 두 지점 사이의 전손실수두(m), Nf는 유로 수, Nd는 등수두면 수다. 요소가 정사각형이면 유로 하나를 지나는 유량은 k와 등수두면 하나의 수두강하 h/Nd의 곱으로 나타난다. 이 값에 유로 수를 곱하면 위 식이 된다. 답안에는 q = k·h·Nf/Nd 형태로 쓴다.

계산할 때는 k를 m/s로, h를 m로 맞춘다. 그러면 q는 m³/s·m 단위가 된다. 흙 실험값이 cm/s로 주어지면 먼저 m/s로 환산한다.

자연 지반은 대부분 비등방이다. 수직 투수계수가 수평 투수계수보다 작은 경우가 많다. 이때는 좌표를 변환해 축소된 유선망을 그리고, 등가 투수계수로 유량을 구한다. 비균질 지반에서는 층마다 투수계수가 달라 유선이 굴절하므로, 층 경계에서 흐름 조건을 따로 본다.

3. 등장 배경과 필요성

댐, 방조제, 흙막이 널말뚝은 양쪽 수위가 다르다. 그래서 물이 구조물 아래나 옆으로 새어 흐른다. 이 흐름이 얼마나 많은지, 어디에서 얼마나 빨리 빠져나가는지를 알아야 구조물을 설계할 수 있다.

초기에는 흙 속 흐름을 Darcy 법칙으로 직접 풀었다. 그러나 댐 단면처럼 경계가 복잡하면 흐름 조건을 식 하나로 표현하기 어렵다. 그래서 흐름을 그림으로 나타내는 유선망 해법이 널리 쓰였다. 유선망은 라플라스 방정식의 해를 그래프로 나타낸 것과 같다. 지금은 수치해석으로도 풀지만, 현장 검토와 시험 답안에서는 유선망이 기본이다.

이 해석이 성립하려면 몇 가지 가정이 필요하다. 흐름은 시간에 따라 변하지 않는 정상류로 본다. 흙은 물로 포화되어 있다고 본다. 흐름은 층류이고 Darcy 법칙을 따른다고 가정한다. 이 조건이 깨지면 같은 유선망 식을 그대로 쓸 수 없다.

침투유량을 알아야 하는 이유는 세 가지다.

• 저수지나 댐의 누수량을 구해 저수 손실을 평가한다.
• 구조물 밑면의 간극수압과 양압력 분포를 구한다.
• 출구 부근 동수경사를 확인해 파이핑 가능성을 점검한다.

출구 부근 동수경사가 1에 가까워지면 흙 입자가 이동하는 보일링과 파이핑 위험이 커진다. 따라서 침투유량 계산은 단순한 누수량 산정에서 끝나지 않고, 파이핑 안전성을 판단하는 출발점이 된다.

침투유량은 저수 손실과 파이핑 안전성을 함께 판단하는 기준이다.

4. 구성요소·원리·절차

침투유량을 구하는 방법은 유선망(Flow Net)을 그려 유로 수와 등수두면 수를 세는 것이다. 유선망은 유선과 등수두선이 직교하며 이루는 망이다. 흙 속 물의 흐름 경로가 유선이고, 같은 전수두를 가지는 선이 등수두선이다.

표 설명: 유선망의 네 요소는 침투량과 수두 손실을 한 번에 연결한다. 유로 수와 등수두면 수의 비가 침투량 계산의 핵심이다. 유선과 등수두선이 직교하지 않으면 유선망이 잘못 그려진 것이다.

원리: 인접한 두 유선 사이의 침투유량은 모두 같다. 인접한 두 등수두선 사이의 손실수두도 모두 같다. 따라서 유선망의 한 칸(유로×등수두면)은 근사적으로 정사각형이 된다. 이 조건에서 등방 토질의 단위폭당 침투유량은 다음과 같다.

$q = k\,h\,\frac{n_f}{n_d}$

여기서 q 는 단위폭당 침투유량(㎥/s·m), k 는 투수계수(m/s), h 는 두 지점 사이의 전손실수두(m), n_f 는 유로 수, n_d 는 등수두면 수다. 전손실수두 h 는 상류 수위와 하류 수위의 차이다.

비등방 토질: 자연 지반은 대부분 비등방이다. 연직 투수계수가 수평 투수계수보다 작은 경우가 많다. 좌표를 축소 변환하면 x방향으로 축소된 유선망을 그릴 수 있다. 이때 등가투수계수 k_{eq} 를 써서 같은 식으로 유량을 구한다. 축소 단면과 원축척 단면의 유량은 서로 같아야 한다.

비균질 토질: 중앙 차수벽이나 필터가 있는 댐은 층마다 투수계수가 다르다. 두 층의 경계에서 유선이 꺾이며, 굴절 법칙에 따라 유선의 각도가 바뀐다. 경계 조건을 연속방정식으로 맞춘 뒤 유선망을 그린다.

절차

• 상·하류 수위와 불투수층 위치를 그림에 표시한다.
• 흐름 경계(상류 수면, 하류 수면, 불투수층)를 정한다.
• 유선을 대략 그린다. 침윤선을 흐름 경계로 둔다.
• 등수두선을 유선과 직교하게 그리되, 칸이 정사각형에 가깝도록 조정한다.
• 유로 수 n_f 와 등수두면 수 n_d 를 센다.
• 침투유량 q = k h n_f/n_d 를 계산한다.
• 각 점의 등수두 강하 수로 전수두와 간극수압을 구한다.

계산 예제(절차 확인용): 상·하류 수위차 h = 6\,\mathrm{m}, k = 1\times10^{-4}\,\mathrm{cm/s} = 1\times10^{-6}\,\mathrm{m/s}, n_f = 4, n_d = 12 라 하자.

$q = 1\times10^{-6} \times 6 \times \frac{4}{12} = 2\times10^{-6}\,\mathrm{m^3/s\cdot m}$

결과는 단위 폭당 2\times10^{-6}\,\mathrm{m^3/s\cdot m} 로, 사질토의 침투량 크기로 상식 범위 안이다.

파이핑 판단: 하류단의 출구 동수경사가 한계를 넘으면 흙이 침식되어 유로가 커진다. 유선망에서 출구 부근은 가장 촘촘하므로 동수경사가 가장 크다. 출구 동수경사 i_e = \Delta h / l_e 로 검토한다. 여기서 \Delta h 는 한 등수두 강하량, l_e 는 출구부 한 칸의 길이다.

유선망은 유선과 등수두선이 직교하고 칸이 정사각형이어야 한다

5. 관련 법령·기준·표준

침투 해석은 댐·제방·흙막이의 설계기준과 함께 쓴다. 대표 기준은 다음과 같다.