Mohr-Coulomb 파괴포락선

왜 배우는가: Mohr-Coulomb 파괴포락선은 흙의 전단강도를 수직응력과 연결하는 가장 기본적인 파괴기준이다. 사면안정, 기초지지력, 옹벽과 터널 해석이 모두 이 기준 위에 놓이므로 실무에서 가장 자주 쓰인다. 시험에서도 Mohr 원 작도, π-평면 표현, 단계별 응력 변화 등 여러 형태로 반복 출제된다.

출제 이력: 제135회 4교시 4번, 제131회 1교시 12번, 제129회 4교시 4번, 제108회 1교시 11번, 제103회 2교시 1번, 제92회 1교시 5번, 제89회 1교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

Mohr-Coulomb 파괴포락선은 파괴면의 수직응력과 전단저항력의 관계를 직선으로 나타낸 파괴기준으로, 전단강도 τf = c + σ tanφ로 표현된다.

• Mohr 원: 한 점의 응력상태를 σ-τ 평면에 나타낸 원
• 파괴포락선: 파괴 시 Mohr 원들에 공통으로 접하는 선
• 점착력(c): 수직응력과 무관하게 작용하는 전단저항 성분
• 내부마찰각(φ): 수직응력에 비례하는 전단저항의 기울기 각
• 유효응력(σ′): 전응력에서 간극수압을 뺀 응력
• 주응력(σ1, σ3): 전단응력이 0인 면에서의 최대·최소 법선응력
• 파괴 규준: 응력상태가 포락선에 닿으면 파괴, 아래면 안정

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 흙은 누르는 힘이 커질수록 미끄러지는 저항도 커진다. 그 관계를 그린 선이 파괴포락선이다. 흙 입자 사이의 맞물림과 마찰이 수직응력에 비례해 저항을 만들고, 입자를 붙잡는 성분이 점착력으로 더해진다.

정식 정의는 다음과 같다. 파괴면에서의 전단강도 τf는 점착력 c와 수직응력 σ에 내부마찰각 φ의 탄젠트를 곱한 값의 합이다. 이를 유효응력으로 쓰면 τf = c′ + σ′ tanφ′이다. 이 식이 Mohr-Coulomb 파괴기준이다.

핵심 용어를 정리하면 다음과 같다.

Mohr 원은 주응력 σ1, σ3로 그린 원으로, 중심은 (σ1+σ3)/2, 반지름은 (σ1−σ3)/2이다. 원 위의 한 점이 한 면의 응력을 나타낸다.

파괴포락선은 파괴가 일어나는 순간의 Mohr 원들에 공통으로 접하는 직선이다. 원이 선 아래에 있으면 안정, 선에 접하면 파괴 상태다. 선 위로 원이 올라갈 수는 없다.

점착력 c는 수직응력이 0일 때의 전단저항이며, 절편으로 나타난다. 내부마찰각 φ는 직선의 기울기 각이다. 모래처럼 점착력이 거의 없는 흙은 c≈0이고 φ가 지배한다.

3. 등장 배경과 필요성

쿨롱(Coulomb)은 흙의 전단저항을 마찰성분과 결합성분으로 나누어 설명했다. 모어(Mohr)는 응력상태를 원으로 그리고 파괴 원들의 포락선을 제시했다. 두 이론을 결합해 파괴포락선을 직선으로 근사한 것이 Mohr-Coulomb 기준이다.

흙은 실제로 응력에 따라 비선형 포락선을 보이지만, 넓은 응력 범위에서는 직선으로 근사해도 설계에 충분한 정확도를 얻는다. 그래서 설계 실무는 직선 포락선을 쓰며, 이 근사의 한계를 함께 알아두어야 한다.

이 기준이 필요한 이유는 다음과 같다. 첫째, 흙의 파괴를 하나의 식으로 판정할 수 있다. 둘째, 삼축시험이나 일축압축시험 결과에서 c와 φ를 구할 수 있다. 셋째, 사면·기초·옹벽의 안전율을 계산하는 공통 기반이 된다.

전응력과 유효응력의 구분도 중요하다. 간극수압이 생기면 유효응력으로 식을 써야 한다. 배수 조건과 비배수 조건에서 c와 φ의 의미가 달라지므로, 시험 조건을 함께 쓰는 것이 답안 감점을 막는 길이다.