Rankine 주동토압

왜 배우는가: Rankine 주동토압은 옹벽의 전도·활동 안정 계산에서 벽체에 작용하는 수평력을 구하는 기본 이론이다. 응력 상태를 Mohr원과 파괴포락선으로 설명하는 문제가 3개 회차에 걸쳐 반복 출제되어, 유도 과정을 답안지에 그대로 옮길 수 있어야 한다.

출제 이력: 제135회 2교시 2번, 제115회 4교시 2번, 제109회 3교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: Rankine 주동토압은 벽체가 흙에서 멀어지는 방향으로 움직여 흙이 소성평형(주동파괴) 상태에 도달했을 때 연직응력을 유지한 채 수평응력이 최소가 되는 조건에서 얻는 토압이다.

핵심 키워드

• 주동토압(Active Earth Pressure)
• Rankine 이론(Rankine Theory)
• 주동토압계수 K_a
• Mohr원(Mohr's Circle)
• Mohr–Coulomb 파괴포락선
• 소성평형 상태(Plastic Equilibrium)
• 평면 활동면(Planar Failure Surface)
• 최대수직응력설(Maximum-Normal Stress Theory)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 옹벽이 흙 쪽에서 밀려 나가는 방향으로 조금씩 움직이면 배면 흙은 스스로 무너지지 않도록 버티다가 어느 순간 전단파괴가 일어난다. 이때 벽체를 밀어내는 수평토압이 주동토압이다. 벽체가 움직이지 않는 상태(정지토압)보다 작아지는 것이 특징이다.

정식 정의: Rankine 이론은 흙을 균질·등방한 점성 없는 흙으로 보고, 파괴가 평면 활동면을 따라 일어난다는 가정 아래 연직응력 \sigma_v를 주응력으로 하는 응력 상태에서 수평응력 \sigma_h의 한계값을 구한다. 벽체 마찰과 벽면 경사는 무시하며, 배면은 수평이다.

핵심 용어 풀이

소성평형 상태(Plastic Equilibrium)는 흙의 어느 면에서 전단응력이 전단강도에 도달하여 더 이상 응력을 늘릴 수 없는 상태다. 주동 상태에서는 연직응력은 그대로 두고 수평응력만 감소한다.

Mohr원(Mohr's Circle)은 한 점의 응력 상태를 \sigma–\tau 평면에 그린 원이다. 원의 중심은 \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}, 반지름은 \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}이다. 최대주응력 \sigma_1과 최소주응력 \sigma_3를 알면 원을 그릴 수 있다.

파괴포락선(Failure Envelope)은 여러 파괴 응력 상태의 Mohr원에 접하는 직선이다. 원이 포락선 아래에 있으면 안정, 접하면 파괴다. 포락선 위로 원이 그려질 수는 없다. 사질토의 Mohr–Coulomb 식은 \tau_f = \sigma' \tan\phi'이다.

Mohr–Coulomb 파괴기준은 \tau_f = c' + \sigma' \tan\phi' 이며, 여기서 c'는 점착력, \phi'는 내부마찰각이다. 점착력이 없는 흙에서는 c'=0이다.

3. 등장 배경과 필요성

옹벽, 흙막이벽, 교대 설계에서 벽체에 작용하는 토압을 구하지 않으면 전도·활동·지지력 안정 검토가 불가능하다. 벽체 설계에 쓰는 토압은 대부분 한계평형 이론에서 나오므로, 가장 단순한 해석해인 Rankine 이론이 설계 기초가 된다.

Coulomb 이론은 벽면 마찰과 활동면 경사를 고려하지만, 활동면을 임의로 가정해 최댓값을 찾는 방식이다. 반면 Rankine 이론은 응력 상태만으로 토압을 얻으므로 계산 과정이 명확하다. 이 점에서 Rankine 이론은 벽면 마찰을 무시하는 보수적이거나 간편한 해법으로 쓰인다.

Rankine 이론은 1857년 Rankine이 제안했으며, 응력장(stress field) 해석이라는 점에서 활동면을 미리 정하지 않는다. 이론의 한계는 벽면 마찰 무시, 수평 배면, 벽면이 연직이라는 가정에 있다. 이 가정이 깨지면 Coulomb 이론이나 수정 해석을 쓴다.

4. 구성요소·원리·절차

Rankine 주동토압은 흙 요소의 응력 상태를 Mohr 원으로 나타내고, 그 원이 파괴 포락선에 접하는 조건으로 구한다. 구성요소는 아래 표와 같다.

원리는 다음과 같다. 벽체가 배면 흙에서 멀어지면 수평응력은 줄고 연직응력은 그대로 유지된다. 이때 Mohr 원은 커지고, 원이 파괴 포락선에 접하는 순간 흙이 파괴된다. 이 접점 상태가 주동 파괴 상태다.

주동 상태는 연직응력을 유지하고 수평응력을 파괴 조건까지 줄인 상태다.

유도 절차는 다음과 같다.

• 깊이 z에서 연직응력 σ1 = γz를 Mohr 원의 큰 주응력으로 잡는다.
• 벽체 방향 수평응력 σ3를 줄여 Mohr 원의 지름을 키운다.
• 원의 중심은 (σ1+σ3)/2, 반지름은 (σ1−σ3)/2로 표시한다.
• 파괴 포락선 τ = c + σ·tanφ에 접하는 조건을 세운다. 접점에서 sinφ = (σ1−σ3)/(σ1+σ3+2c·cotφ)가 성립한다.
• 식을 σ3에 대해 정리하면 σ3 = σ1·tan²(45°−φ/2) − 2c·tan(45°−φ/2)가 된다.
• 주동토압계수 Ka = tan²(45°−φ/2) = (1−sinφ)/(1+sinφ)를 쓰면 σ3 = Ka·σ1 − 2c√Ka가 된다.

사질토(c = 0)의 주동토압 합력은 다음과 같이 쓴다. 한 문장으로 정리하면 주동토압 합력은 응력 분포의 면적이다.

$P_a = \frac{1}{2}K_a\gamma H^2$

P_a는 벽체 단위길이당 합력(kN/m), γ는 흙의 단위중량(kN/㎥), H는 벽체 높이(m)다. 작용점은 벽체 저면에서 H/3 높이다.

점성토(c ≠ 0)에서는 수평응력이 σh = Ka·γz − 2c√Ka가 된다. 이 값이 음수가 되는 얕은 깊이에서는 인장이 생기는데, 흙은 인장을 받지 못하므로 인장균열이 발생한다고 보고 그 깊이를 뺀다. 균열 깊이 z_c는 σh = 0에서 구한다.

$z_c = \frac{2c}{\gamma\sqrt{K_a}}$

인장 영역을 제외하고 z_c부터 H까지 적분하면 점성토 주동토압 합력이 된다.

$P_a = \frac{1}{2}\gamma K_a H^2 - 2c\sqrt{K_a}\,H + \frac{2c^2}{\gamma}$

이때 작용점은 저면에서 (H−z_c)/3 높이다. 수동토압은 같은 절차에서 σ1과 σ3의 역할을 바꾼다. 즉 수평응력이 증가하여 파괴되는 경우이며, 수동토압계수 Kp = tan²(45°+φ/2)를 쓰고 σp = Kp·γz + 2c√Kp로 표시한다.

5. 관련 법령·기준·표준

Rankine 토압은 이론식이므로 설계에서는 건설기준의 옹벽 설계기준, 흙막이 설계기준에 따라 적용한다. 관련 법령은 「건설기술 진흥법」과 「산업안전보건기준에 관한 규칙」(흙막이 지보공 관련 규정)이며, 두 법은 토압을 직접 산정하는 식을 주지 않고 설계와 안전 조치의 책임 체계를 정한다. 따라서 토압 계산식의 근거는 기준서와 이론 자체다.

Rankine 이론은 1857년 Rankine이 제안했다. 이론의 가정은 흙이 점착력 없고(c = 0) 벽면이 마찰 없으며 배면이 수평이고 파괴면이 평면이라는 것이다. 점성토는 가정을 완화하여 인장균열을 고려하는 방식으로 확장한다.

표의 값은 계산의 기준이다. 실제 설계에서는 벽체 경사, 배면 경사, 벽면 마찰, 지하수 조건을 추가로 보정하는 기준을 함께 적용해야 한다. 기준에 따라 보정 방법과 안전율 기준이 다르므로 설계 기준의 현행 조문을 따른다.

6. 유형과 비교

Rankine 토압은 흙의 파괴 조건과 응력 상태만으로 주동·수동 토압을 구하는 응력 이론이다. 같은 이론 안에서도 배면 조건(사질토와 점성토, 수평 배면과 경사 배면)에 따라 식의 모양이 달라진다. 아래 표는 배면 조건별 유형을 정리한 것이다.