등가 투수계수·유량

왜 배우는가: 다층 지반에서 침투 유량과 수두를 계산하려면 층마다 다른 투수계수를 하나의 값으로 합쳐야 한다. 등가투수계수는 흐름 방향에 따라 공식이 달라서 2교시, 4교시, 1교시에 반복해 출제되는 기본 개념이다.

출제 이력: 제139회 2교시 3번, 제133회 4교시 1번, 제110회 2교시 2번, 제89회 1교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

등가투수계수는 투수계수가 다른 여러 층을 하나의 균질층으로 치환했을 때 같은 유량을 주는 투수계수이다. 핵심 키워드는 다음과 같다.

• 등가투수계수
• 다층지반
• 평행 흐름
• 직각 흐름
• 두께 가중 산술평균
• 두께 가중 조화평균
• 단위폭당 유량

등가투수계수는 흐름 방향에 따라 값이 달라진다. 따라서 답안에서는 흐름 방향을 먼저 밝히고 그 방향에 맞는 식을 써야 한다. 평행 흐름은 두께 가중 산술평균, 직각 흐름은 두께 가중 조화평균으로 구한다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 설명하면, 층이 여러 겹 쌓인 땅에서 물이 얼마나 잘 빠져나가는지를 한 개의 값으로 나타낸 것이다. 각 층의 두께와 투수계수가 다르므로 그대로 계산하면 복잡하다. 그래서 전체를 하나의 가상 균질층으로 보고 그 투수계수를 구한다. 정식으로 정의하면, 투수계수가 k_1, k_2, \dots, k_n인 n개 층을 두께 H_1, H_2, \dots, H_n으로 쌓은 지반을 같은 흐름 조건에서 같은 유량을 주는 균질 가상층의 투수계수로 바꾼 값이다. 투수계수(k)는 Darcy 법칙에서 동수경사와 유속을 잇는 비례상수다. 단위는 cm/s 또는 m/s를 쓰며, 입도가 클수록 값이 커진다. 동수경사(i)는 흐름 길이 L에 대한 수두차 \Delta h의 비, 즉 i = \Delta h / L이다. 무차원 값이다. Darcy 법칙은 침투 유량을 q = k i A로 표현한다. 여기서 A는 흐름에 직각인 흙의 단면적이다. 층 평행 흐름은 물이 층면과 나란히 흐르는 경우다. 모든 층의 수두차와 동수경사가 같고, 전체 유량은 각 층 유량의 합이 된다. 층 직각 흐름은 물이 층을 가로질러 흐르는 경우다. 모든 층의 유량이 같고, 전체 수두손실은 각 층 손실의 합이 된다. 단위폭당 유량은 흐름 방향에 수직인 폭 1m당 단면을 통과하는 유량이다. 2차원 침투 문제에서 흔히 쓰는 기준이다.

3. 등장 배경과 필요성

자연 지반은 대부분 퇴적으로 만들어져 층상 구조를 가진다. 하천 퇴적층, 해성 점토층, 모래 맥이 번갈아 쌓이는 경우가 많다. 이런 지반은 한 층 안에서도 방향에 따라 투수 성질이 다르다. 흔히 수평 방향 투수계수가 연직 방향보다 크다. 하천 제방이나 흙댐의 기초 지반에서 침투 문제가 자주 생긴다. 제방 아래 모래층으로 물이 빠지면 파이핑이 일어날 수 있고, 점토층이 얇게 끼어 있으면 침투 유량이 줄어든다. 이런 조건을 정량적으로 평가하려면 지반 전체의 대표 투수계수가 필요하다. 실내 투수시험은 작은 시료로 수행하므로 현장 지반을 대표하지 못하는 한계가 있다. 시료에 나타나지 않는 균열이나 층 경계가 현장에 존재할 수 있다. 그래서 층별 시험값을 이용해 등가투수계수를 구하는 방법이 실무에서 널리 쓰인다. 등가투수계수는 흐름 방향에 따라 결과가 크게 달라진다. 수평 흐름에서는 투수성이 좋은 층이 전체 유량을 지배한다. 연직 흐름에서는 투수성이 나쁜 층이 흐름을 제한한다. 이 차이를 이해해야 제방 배수, 굴착 저부 용수, 댐 기초의 침투 해석에서 올바른 값을 쓸 수 있다.