평사투영법

왜 배우는가: 평사투영법은 암반 사면과 절리 방향의 기하 관계를 도면 위에서 읽어 파괴 형태(평면·쐐기·전도)를 가려내는 기본 도구이다. 암반 사면 붕괴 사고 분석과 설계 검토에서 빠지지 않고 쓰이므로 시험에서도 1교시 용어와 4교시 논술로 반복해 나온다. 개념의 원리와 적용 조건을 함께 알아야 답안을 쓸 수 있다.

출제 이력: 제135회 1교시 7번, 제133회 4교시 2번, 제129회 1교시 7번, 제108회 4교시 6번, 제89회 1교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

평사투영법은 3차원 공간의 평면과 선의 방향을 구(球)의 하반구에 투영하여 2차원 원 위에 나타내고, 그 기하 관계로 암반 사면의 불연속면 파괴 가능성을 해석하는 방법이다.

• 평사투영(stereographic projection)
• 극점(pole)
• 대권(great circle)
• 운동학적 해석(kinematic analysis)
• 평면파괴(plane failure)
• 쐐기파괴(wedge failure)
• 전도파괴(toppling failure)
• Schmidt 망(Schmidt net)

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 암반 속 절리와 층리의 방향을 종이 위의 원에 점과 선으로 찍어, 사면이 어느 방향으로 미끄러지기 쉬운지 눈으로 보는 방법이다. 방향 데이터를 3차원에서 2차원으로 옮기므로 여러 절리군을 한 장에 겹쳐 비교할 수 있다.

정식 정의는 다음과 같다. 평사투영법은 불연속면의 경사와 경사방향(주향이 아니라 경사방향)을 하반구 투영면 위에 옮기고, 사면의 경사면과 불연속면의 기하 관계로 파괴 모드의 가능성을 판정하는 방법이다. 이때 불연속면은 대권으로, 그 법선은 극점으로 표시한다.

극점은 불연속면의 법선 방향을 구 위에 옮긴 점이다. 하나의 면은 하나의 극점과 하나의 대권으로 나타낸다. 두 면의 교선은 두 대권의 교점으로 찾는다. 교선이 사면 방향의 투영 안에 들어가면 쐐기파괴 가능성이 있다.

대권은 구의 중심을 지나는 평면이 구면과 만나 생기는 원이다. 투영면에서는 불연속면의 주향과 경사를 그대로 나타내는 곡선이다. 평면파괴는 불연속면의 경사방향이 사면의 경사방향과 거의 같고, 불연속면 경사각이 사면 경사각보다 작으며, 마찰각보다 커야 일어난다. 이 세 조건을 투영에서 함께 확인한다.

운동학적 해석은 암반 블록이 어떤 모드로 움직일 수 있는지를 먼저 가리는 단계다. 힘과 강도를 계산하는 한계평형해석과 달리, 기하학적으로 가능한 파괴 모드만 걸러낸다. 그래서 평사투영 해석은 보통 한계평형해석의 앞 단계로 쓰인다.

Schmidt 망은 등면적 투영을 쓰는 망이다. 면적이 보존되므로 절리 극점의 밀도를 세어 절리군을 구분할 때 쓴다. 등각 투영(Wulff 망)은 각도가 보존되므로 대권 간 교각을 읽을 때 쓴다.

3. 등장 배경과 필요성

암반 사면은 흙 사면과 달리 불연속면을 따라 파괴된다. 불연속면의 방향이 사면과 어떤 관계인지에 따라 안정성이 크게 달라진다. 현장에서 절리와 층리를 수많은 점으로 측정해도, 그 방향 데이터를 머릿속에서 3차원으로 조합하기는 어렵다.

평사투영법은 이 어려움을 해결하기 위해 쓰인다. 방향 데이터를 한 장의 도면에 모아 절리군의 분포와 우세 방향을 한눈에 보게 한다. 이 도면은 사면 설계와 보강 설계 단계에서 파괴 위험이 큰 방향을 미리 찾는 기준이 된다.