전응력·유효응력 해석

왜 배우는가: 비탈면과 흙막이의 설계 안정성은 흙의 배수 조건에 따라 결과가 크게 달라진다. 전응력해석과 유효응력해석의 차이를 알아야 시공 단계별 안정 검토와 간극수압 추정 방법을 올바르게 고를 수 있다. 기술사 시험에서는 두 방법의 정의·적용 조건·비교가 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제135회 2교시 1번, 제110회 2교시 3번, 제98회 1교시 10번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의 문장:

전응력해석은 간극수압을 따로 구하지 않고 전응력 기준 강도정수로 사면 안전율을 구하며, 유효응력해석은 간극수압을 빼 유효응력 기준 강도정수로 안전율을 구하는 방법이다.

핵심 키워드

• 전응력해석(Total Stress Analysis)
• 유효응력해석(Effective Stress Analysis)
• 간극수압(Pore Water Pressure)
• 비배수 전단강도(Undrained Shear Strength)
• 유효 전단강도 정수(Effective Shear Strength Parameters)
• 한계평형법(Limit Equilibrium Method)
• 안전율(Factor of Safety)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면 이렇다. 흙 속의 물이 빠져나갈 시간이 없는 급속한 상황이면 물을 빼지 않고 전체 응력으로 강도를 본다. 물이 충분히 빠져나간 장기 상황이면 물이 떠받치는 압력을 빼고 흙입자끼리 받는 응력으로 강도를 본다.

정식 정의는 다음과 같다. 전응력해석은 전응력 \sigma 기준의 강도정수 c_u(또는 c, \phi)를 사용하여 파괴면을 따라 전단강도 \tau_f를 구하는 방법이다. 유효응력해석은 유효응력 \sigma' = \sigma - u 기준의 강도정수 c', \phi'를 사용하는 방법이다. 여기서 u는 파괴면에서의 간극수압(Pore Water Pressure)이다.

Terzaghi의 전단강도식은 다음과 같다.

$\tau_f = c' + (\sigma - u)\tan\phi'$

여기서 \tau_f는 파괴면의 전단강도(kPa), \sigma는 파괴면에 수직으로 작용하는 전응력(kPa), u는 간극수압(kPa), c'는 유효점착력(kPa), \phi'는 유효내부마찰각(°)이다.

비배수 상태의 전단강도는 전응력 기준으로 다음과 같이 쓴다.

$\tau_f = c_u = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$

여기서 c_u는 비배수 전단강도(kPa), \sigma_1은 최대 주응력, \sigma_3은 최소 주응력이다. 이 식은 Tresca 조건에 해당하며 포화 점토의 \phi_u = 0 가정과 연결된다.

두 방법의 핵심 차이는 간극수압을 어떻게 다루느냐에 있다. 전응력해석은 간극수압을 강도정수 속에 포함시켜 한 번에 구한다. 유효응력해석은 간극수압 u를 따로 추정하고 \sigma'를 계산해서 강도를 구한다. 따라서 유효응력해석은 간극수압 추정의 정확도가 안전율을 좌우한다.

3. 등장 배경과 필요성

흙 사면과 성토의 파괴는 하중을 가한 직후 짧은 시간에 일어나는 경우가 많다. 예를 들어 연약 점토 지반 위의 성토는 시공 중 간극수가 빠지지 못해 과잉간극수압이 쌓이고, 이때 전응력 기준의 비배수 강도로 검토하는 것이 합리적이다. 반면 시공이 끝나 과잉간극수압이 소산된 장기 상태는 유효응력 기준으로 검토해야 한다.

이런 이유로 한계평형법 같은 안정해석에서는 파괴 시점과 배수 조건을 함께 고려한 강도정수 선택이 필요해졌다. 전응력해석은 계산이 간단하고 실험 조건을 현장 파괴 조건에 맞추기 쉬운 장점이 있다. 유효응력해석은 흙의 역학적 거동을 더 근본적으로 반영하므로 장기 안정성 검토에 기본이 된다.

강우 시 사면 붕괴처럼 간극수압이 시간에 따라 변하는 문제도 이 개념 위에서 다룬다. 따라서 두 해석의 배경 차이를 이해하면 설계 단계와 시공 단계에서 어떤 해석을 택할지 판단할 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

사면 안정해석은 전단강도, 파괴면의 수직응력, 간극수압의 세 요소로 구성된다. 두 해석법은 같은 절편법 틀을 쓰고, 세 요소를 다루는 방식만 다르다.

전응력해석은 간극수압을 직접 알지 못해도 쓸 수 있는 방법이다. 유효응력해석은 파괴면의 간극수압을 알아야 쓸 수 있다.

전응력해석의 파괴 기준식은 다음과 같다.

$\tau_f = c + \sigma \tan\phi$

여기서 τ_f는 전단강도(kPa), c는 점착력(kPa), σ는 파괴면의 전응력(kPa), φ는 내부마찰각(°)이다. 포화 점토가 비배수 조건에서 φ_u = 0이면 τ_f = c_u가 되어 수직응력과 무관한 일정한 값이 된다.

유효응력해석의 기준식은 Terzaghi의 유효응력 원리에 따른다.

$\tau_f = c' + (\sigma - u)\tan\phi'$

여기서 u는 파괴면의 간극수압(kPa), c'와 φ'는 유효응력 강도정수다. 같은 흙이라도 간극수압이 커지면 전단강도가 줄어든다.

성토나 굴착으로 하중이 가해지면 포화 점토의 간극수는 즉시 빠지지 못하고 과잉간극수압이 생긴다. 단기에는 이 과잉간극수압이 남아 있어 전응력 강도가 지배한다. 시간이 지나 과잉간극수압이 소산되면 유효응력 강도가 지배한다. 하중 증분에 대한 간극수압은 Skempton의 식 Δu = B[Δσ₃ + A(Δσ₁ − Δσ₃)]으로 구하며, A와 B는 흙의 종류에 따라 다르다. 간극수압 계수는 다음과 같이 쓴다.

$r_u = \frac{u}{\gamma_t h}$

여기서 γ_t는 흙의 단위중량(kN/m³), h는 파괴면 깊이(m)다. r_u는 간극수압 계수로, 사면 설계에서 간이 간극수압 산정에 쓰인다.

절편법 안전율은 Fellenius 방법으로 다음과 같이 쓴다. 유효응력 기준식이다.

$F_s = \frac{\sum \left(c' l + (W\cos\alpha - u l)\tan\phi'\right)}{\sum W\sin\alpha}$

여기서 l은 절편 바닥 길이(m), W는 절편 무게(kN), α는 절편 바닥 경사각(°), u는 절편 바닥의 간극수압(kPa)이다. 전응력해석은 u 항을 빼고 c', φ' 대신 c, φ 또는 c_u를 넣는다. 분모는 활동력, 분자는 저항력이다.

해석 절차는 다음 순서로 진행한다.

• 지층 구성과 흙의 배수 조건을 조사하고 토질정수를 정한다.
• 해석 시기를 정한다. 시공 직후는 단기, 시공 후 장기로 나눈다.
• 파괴면(원호 또는 직선)을 가정하고 절편으로 나눈다.
• 각 절편의 전응력 σ와 간극수압 u를 구한다.
• 절편별 전단강도 τ_f와 활동력을 계산한다.
• 안전율 F_s를 구하고, 여러 파괴면 중 최소 F_s를 채택한다.
• 기준 안전율과 비교하고, 부족하면 배수나 보강으로 설계를 바꾸고 다시 계산한다.

단기는 전응력, 장기는 유효응력으로 해석하는 것이 원칙이다

5. 관련 법령·기준·표준

사면 안정해석의 설계 기준은 안전율로 표현된다. 값은 해석 시기와 배수 조건에 따라 다르다. 아래 표는 실무에서 널리 쓰는 기준값이다.

표의 값은 사면의 중요도와 설계 지침에 따라 달라질 수 있다. 전응력해석의 단기 기준은 시공 중 안정을, 유효응력해석의 장기 기준은 완성 후 안정을 확인하는 데 쓴다.

관련 법령은 「건설기술 진흥법」과 「산업안전보건법」이다. 「건설기술 진흥법」은 공사의 설계 안전성 검토 체계를, 「산업안전보건법」은 굴착과 비탈면 작업의 안전 확보 의무를 정한다. 도로 비탈면은 도로 설계 지침에서 안정 검토 방법을 정한다.