Newmark 영향원

왜 배우는가: Newmark 영향원법은 임의 형상의 등분포 하중이 지반 내 임의 점에 주는 연직응력을 도해로 구하는 방법이라, 기초 침하·지중응력 해석에서 반복적으로 쓰인다. 불규칙한 재하 면적을 다룰 수 있어 실무 검토에서 빠지지 않으며, 시험에서는 원리 설명과 계산 과정을 함께 묻는 형태로 자주 출제된다.

출제 이력: 제134회 4교시 2번, 제118회 1교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

Newmark 영향원법은 임의 형상의 등분포 하중이 지반 내 임의 깊이의 한 점에 일으키는 연직응력 증가량을 동심원과 방사선으로 이루어진 영향원 차트로 구하는 도해법이다.

• 영향원
• Boussinesq 해
• 영향값(IV)
• 반경비 R/z
• 등분포 하중 q
• 부정형 재하면적
• 탄성 반무한체

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 땅속 한 점이 위의 넓은 하중 때문에 얼마나 더 눌리는지를 종이 위 그림으로 세는 방법이다. 재하 면적이 직사각형이 아니어도 되므로 실무에서 편리하다.

정식으로는 Newmark 영향원을 Boussinesq의 점하중 해를 면적 전체에 적분하여 만든 도표로 정의한다. 차트는 중심이 같은 여러 원과 이를 나누는 방사선으로 구성된다. 각 원의 반지름은 깊이 z에 대한 재하 면적 반경의 비 R/z 에 대응한다. 즉 원의 크기가 깊이 기준 상대 거리를 나타낸다.

영향값(IV, Influence Value) 은 차트 한 요소가 단위 하중에 대해 주는 응력 기여분이다. 요소 수를 N이라 할 때 IV = 1/N 이며, 차트마다 N 값에 따라 IV 가 정해진다. 이 값이 차트 전체의 계산 단위가 된다.

반경비(R/z) 는 원의 반경과 계산 깊이의 비다. 원의 반지름이 R/z 값과 같아지도록 차트를 그리므로, 같은 차트를 여러 깊이에 재사용할 수 있다.

3. 등장 배경과 필요성

1930년대 이후 Boussinesq 해는 점하중에 대해서만 간단한 식을 준다. 실제 기초는 직사각형, 원형, 불규칙한 평면 형상을 가지므로 면적 적분이 필요하다. 이를 식으로 풀기는 어려워 Newmark는 1942년 적분 결과를 도표로 정리하였다.

이 방법은 탄성 반무한, 균질, 등방인 지반을 가정한다. 층상 지반이나 이방성 지반에는 그대로 적용하기 어렵다는 한계가 함께 따른다. 시험에서는 이 가정을 먼저 제시한 뒤 적용 가능 범위를 말하는 것이 좋다.

영향값 IV = 1/N

4. 구성요소·원리·절차

Newmark 영향원법은 영향원(Influence Chart)을 이용해 임의 형상의 등분포 하중 영역이 아래 한 점에 주는 연직응력 증가량을 도해로 구하는 방법이다. 원리는 Boussinesq 의 점하중 해를 면적 전체에 적분한 결과에 근거한다. 따라서 탄성·등방·균질 반무한 지반에 적용된다.

구성요소는 다음과 같다.

영향원의 원리는 다음과 같다. 원의 반경이 R/z 로 정해지므로 같은 영향원 요소가 같은 응력 증분을 준다. 영향원 요소 하나의 값은 Boussinesq 해를 면적 적분하여 얻은 값이다. 따라서 하중 영역이 차지하는 요소 수를 세면 응력 증분이 얻어진다.

영향원 작성 절차는 다음과 같다.

• 응력을 구할 깊이 z 를 정한다.
• 기준선 AB 의 길이를 z 로 하여 하중 영역의 평면도를 축척에 맞게 그린다.
• 응력을 구할 점이 영향원의 중심에 오도록 평면도를 겹쳐 놓는다.
• 하중 영역 안에 들어가는 영향원 요소 수 NA 를 센다. 걸친 요소는 눈으로 어림하여 합한다.
• 식에 대입하여 응력 증분을 구한다.

$\Delta\sigma_z = I_V \cdot q \cdot N_A$

여기서 \Delta\sigma_z = 깊이 z 에서의 연직응력 증가량(kPa), I_V = 요소 하나의 영향값(1/N), q = 등분포 하중 강도(kPa), N_A = 하중 영역이 덮은 요소 수(개)이다.

영향원 요소 하나의 영향값은 I_V = 1/N 로 차트 전체 요소 수 N 에서 정해진다. 하중 강도 q 가 주어지고 하중 영역이 요소 N_A 개를 덮으면 \Delta\sigma_z = I_V \cdot q \cdot N_A 로 계산한다.

영향원 요소 하나의 영향값은 1/N 이고, 덮인 요소 수를 세어 곱하면 응력 증분이 된다

이 방법의 반무한 탄성체(Semi-infinite Elastic Mass) 가정과 등분포 하중(Uniform Load) 조건이 전제이다. 층상 지반이나 불균질 지반에는 직접 적용하지 않는다.

영향값 IV = 1/N

5. 관련 법령·기준·표준

Newmark 영향원은 설계기준 조문이 정한 방법이 아니라 토질역학 교재와 설계 실무에서 쓰는 해석 방법이다. 따라서 법령 조문 번호는 제시하지 않는다. 아래 표는 영향원의 구성 수치와 적용 조건을 정리한 것이다.

기준 체계상 실무에서 응력 증분은 Boussinesq 해와 Newmark 해를 함께 참고하여 확인한다. 두 방법의 결과 차이는 깊이 z 가 하중 폭보다 작을 때 커진다. 설계 세부 기준은 KDS 의 지반 조사·기초 설계 항목을 따른다.

영향값 1/N 과 요소 수 N 을 함께 기억하면 차트 종류에 관계없이 계산이 가능하다

6. 유형과 비교

Newmark 영향원법은 하중 재하 형상과 계산 방식에 따라 여러 방법으로 나뉜다. 대표적인 방법을 비교하면 적용 범위와 계산 부담이 달라진다. 수험에서는 영향원법과 다른 근사 해법을 구분해 쓰는 것이 중요하다.