Coulomb 토압

왜 배우는가: Coulomb 토압은 벽체 배면의 파괴쐐기를 기준으로 토압을 구하는 이론이라, 벽면마찰과 지표경사를 함께 고려할 수 있어 실제 옹벽·흙막이 설계에 쓰인다. 2교시 합력 산정 문제와 1교시 정확성 문제에 반복해서 나오는 핵심 개념이다.

출제 이력: 제128회 2교시 2번, 제92회 1교시 13번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의 문장: Coulomb 토압은 벽체 배면에 생기는 파괴쐐기의 힘 평형을 이용해 주동·수동 토압의 합력과 작용방향을 구하는 한계평형 해석법이다.

키워드

• 파괴쐐기(Failure Wedge): 벽체 배면에서 미끄러지려는 흙 덩어리.
• 벽면마찰각(δ): 벽체와 뒤채움 흙 사이의 마찰각.
• 주동토압(Active Earth Pressure): 벽체가 흙 쪽으로 움직여 흙이 벽을 미는 토압.
• 수동토압(Passive Earth Pressure): 벽체가 흙 쪽으로 밀려 흙이 저항하는 토압.
• 임계 파괴면(Critical Failure Surface): 토압을 최대(수동) 또는 최소(주동)로 만드는 평면 파괴면.
• 토압 합력(Resultant Earth Pressure): 토압 분포의 총합, 벽체 배면 연직선과 이루는 각도를 가진다.
• 한계평형(Limit Equilibrium): 흙이 파괴 직전 상태에서 힘이 평형을 이루는 해석 조건.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 옹벽이 흙 쪽으로 움직이면 벽 뒤의 흙 덩어리가 쐐기처럼 떨어져 미끄러진다. 벽은 이 쐐기가 미끄러지지 않도록 되받치는 힘을 내야 하고, 그 힘의 반작용이 벽에 작용하는 토압이다.

정식으로는 Coulomb(1776)이 제안한 방법으로, 흙을 쐐기형 강체로 보고 쐐기에 작용하는 자중, 벽체 반력, 파괴면 반력의 힘 평형으로 토압을 구한다. 흙은 등방·균질하고 점착력이 있으며, 파괴면은 평면이고 전단저항은 파괴면을 따라 균등하게 작용한다고 가정한다.

주동 상태는 쐐기가 아래 바깥쪽으로 미끄러지는 경우이고, 수동 상태는 쐐기가 위 안쪽으로 밀려 올라가는 경우다. 두 경우 모두 벽체 배면 연직선과 토압 합력이 이루는 각도는 벽면마찰각 δ로 표현한다.

핵심 용어는 쐐기 평형과 벽면마찰각이다. 벽면마찰각 δ가 있으면 토압 합력은 벽면 수직선에서 δ만큼 기울어져 작용한다. 이 점이 Rankine 토압과 다른 Coulomb 토압의 특징이다.

3. 등장 배경과 필요성

Rankine 이론(1857)은 벽면이 매끄럽고 벽 배면이 수직이며 지표가 수평이라는 조건에서만 간단히 쓸 수 있다. 실제 옹벽은 배면 경사가 있고 벽면에 마찰이 있으며 지표가 경사진 경우가 많아, 이런 조건을 반영할 수 있는 해석법이 필요했다.

Coloumb 이론은 벽면마찰과 지표경사, 벽 배면 경사를 함께 넣을 수 있어 실무 설계 조건에 더 가깝다. 이론상 Rankine 이론은 Coulomb 이론의 특수한 경우에 해당한다. 즉, 연직 벽·수평 지표·벽면마찰 0일 때 두 이론의 토압계수가 같아진다.

또 Coulomb 이론은 임계 파괴면을 찾기 위해 여러 파괴면을 시도하는 방식이라, 토압 크기가 최대 또는 최소가 되는 면을 고른다. 이 과정 때문에 합력 산정과 설계 적용을 함께 묻는 문제에서 자주 등장한다.

4. 구성요소·원리·절차

Coulomb 토압은 벽체 배면에 평면 활동면을 가정하고, 그 위의 흙쐐기가 미끄러지기 직전의 한계평형으로 토압 합력을 구하는 방법이다. 흙쐐기에 작용하는 힘의 평형에서 벽체가 받는 반력이 곧 토압 합력이 된다.

Coulomb 토압은 평면 활동면 가정의 한계평형 해석으로 합력을 구한다

구성요소는 다음과 같다.

원리는 다음과 같다. 활동면 경사각 θ 마다 흙쐐기 자중 W 가 정해지고, W, 활동면 수직반력 N, 벽체 반력 P 세 힘이 평형을 이룬다. 활동면 마찰력 방향은 N 에서 내부마찰각 φ 만큼 기운 방향이다. 이때 P(θ) 를 θ 의 함수로 얻는다. 주동 토압은 P(θ) 의 최댓값, 수동 토압은 최솟값을 임계 활동면으로 택한다. 임계 활동면에서 얻은 값이 Coulomb 토압이다.

합력 산정 절차는 다음과 같다.

• 벽체 높이 H, 뒤채움 단위중량 γ, 내부마찰각 φ, 벽면마찰각 δ, 지표면 경사 β, 배면 경사 α 를 정리한다.
• 활동면 경사각 θ 를 임의로 가정한다.
• 흙쐐기 자중 W(θ) 와 상재하중 Q 를 계산한다.
• 힘 다각형으로 벽체 반력 P(θ) 를 구한다.
• P(θ) 가 최대(주동) 또는 최소(수동)가 되는 θ 를 찾아 임계 활동면을 정한다.
• 임계 θ 에서 토압계수를 구하고 토압 합력을 계산한다.
• 합력의 방향(벽면 법선에서 δ 만큼 기운 방향)과 작용점을 정하고 옹벽 안정을 검토한다.

토압 합력은 다음 식으로 쓴다.

$P_a=\frac{1}{2}\gamma H^2 K_a,\quad P_p=\frac{1}{2}\gamma H^2 K_p$

여기서 γ 는 흙의 단위중량(kN/m³), H 는 벽체 높이(m), K_a·K_p 는 주동·수동 토압계수다. 주동 토압계수는 다음과 같다.

$K_a=\frac{\sin^2(\alpha+\phi)}{\sin^2\alpha\,\sin(\alpha-\delta)\left[1+\sqrt{\frac{\sin(\phi+\delta)\sin(\phi-\beta)}{\sin(\alpha-\delta)\sin(\alpha+\beta)}}\right]^2}$

여기서 α 는 벽 배면이 수평면과 이루는 각(연직 옹벽이면 수평면에 수직), β 는 지표면 경사각, δ 는 벽면마찰각, φ 는 내부마찰각이다. 식이 복잡하므로 문자의 뜻만 알고 있으면 된다. 연직 옹벽, 수평 지표면, δ=0 이면 Ka = tan²(45°−φ/2) 로 Rankine 토압계수와 같아진다.

설계 적용은 다음과 같다. 주동 토압 합력 Pa 는 옹벽의 전도·활동·지지력 검토에 쓰는 설계 하중이다. 중력식 옹벽은 자중과 Pa 의 모멘트 평형으로 단면을 정한다. 수동 토압은 근입부의 저항 성분으로 쓰는데, Coulomb 해는 실제보다 크게 예측되므로 안전율을 적용해 쓴다.

5. 관련 법령·기준·표준

Coulomb 토압은 중력식 옹벽의 설계에 쓰인다. 옹벽 설계는 건설 분야의 설계기준(KDS 체계의 옹벽 설계기준)을 따른다. 아래 표는 설계 검토에서 자주 쓰는 기준값이다. 토압 이론 자체는 법령이 아니라 해석 방법이므로 기준값은 설계기준의 안전율과 토질 정수 설정에 따라 정한다.