압밀이론

왜 배우는가: 압밀이론은 점토지반 위 구조물의 장기 침하량과 침하 속도를 예측하는 기본 이론이다. 성토 높이, 공사 기간, 연직배수 설계를 결정하는 근거이므로 실무에서 자주 쓰인다. 시험에서는 1차원 이론의 가정과 식, 다차원 이론으로의 확장을 함께 묻는 방식으로 반복 출제된다.

출제 이력: 제132회 2교시 3번, 제93회 2교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

압밀은 포화 점성토의 과잉간극수압이 소산되며 체적이 줄고 침하가 시간에 따라 진행되는 현상이다.

포화된 점토가 하중을 받으면 처음에는 간극수가 하중을 나눠 받는다. 이때 간극수압이 평소보다 높아지는데, 이것이 과잉간극수압이다. 물이 배수되면 과잉간극수압은 줄고 흙입자가 받는 유효응력이 늘어나 흙이 압축된다. 점토는 투수성이 낮아 이 과정이 수년에 걸쳐 일어날 수 있다.

• 압밀: 간극수가 빠져나가며 흙의 체적이 감소하는 현상
• 과잉간극수압: 하중으로 생긴 정상상태 초과 간극수압
• 유효응력: 전응력에서 간극수압을 뺀 흙입자 응력
• 압밀계수: 압밀 속도를 지배하는 토질정수(c_v)
• 시간계수: 배수거리와 시간을 무차원화한 값(T_v)
• 압밀도: 특정 시간에 압밀이 진행된 비율(U)
• 배수거리: 물이 빠져나가는 최대 경로 길이(H_dr)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 물을 머금은 스펀지를 누르면 물이 빠져나가며 스펀지가 줄어드는 것과 같다. 점토는 물이 나가는 길이 좁아 이 과정이 오래 걸린다.

정식으로는 포화토에서 하중 증가분을 간극수가 먼저 받다가, 배수에 따라 흙 골격이 받는 유효응력이 늘어나 체적이 감소하는 과정이다. Terzaghi는 이 과정을 1차원 압밀이론으로 정식화했다. 흙은 연직 방향으로만 압축되고 물도 연직으로만 흐른다고 가정한다.

이론의 기본 가정은 다음과 같다.

• 투수계수 k는 응력 크기와 무관하게 일정하다.
• 흙은 횡방향 변위가 구속된 상태에서 1차원 연직으로만 압축된다.
• 물의 흐름은 1차원 연직 방향으로만 일어난다.
• 압축성은 일정한 체적압축계수 m_v로 나타낸다.
• 미소 흙요소의 거동은 응력 크기와 무관하게 일정하다.
• 2차압밀은 무시한다.

지배방정식은 다음과 같다.

$\frac{\partial u}{\partial t}=c_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

여기서 u는 과잉간극수압(kPa), t는 시간(day), z는 배수 방향 깊이(m), c_v는 압밀계수(㎡/day)다. 압밀계수는 다음과 같이 정의된다.

$c_v=\frac{k}{m_v\gamma_w}$

k는 투수계수(m/s), m_v는 체적압축계수(㎡/kN), γ_w는 물의 단위중량(9.81kN/㎥)이다. k가 작을수록, m_v가 클수록 c_v는 작아져 압밀이 느리다.

시간의 무차원량은 다음과 같다.

$T_v=\frac{c_v\,t}{H_{dr}^2}$

한쪽 배수이면 H_dr는 점토층 두께 H이고, 양면 배수이면 H_dr는 H/2다. 평균압밀도 U가 60% 이하일 때는 다음 근사식을 쓴다.

$U=\sqrt{\frac{4T_v}{\pi}}$

이 관계에서 U=50%일 때 T_v=0.197이고, U=90%일 때 T_v=0.848이다. 실무에서는 목표 압밀도에 도달하는 시간을 이 값으로 역산한다.

Terzaghi-Rendulic 다차원 압밀이론은 흙요소의 흐름을 연직과 수평 방향으로 함께 본다. 수평 배수가 있거나 지반 형상이 복잡할 때 압밀 속도를 설명할 수 있다. 2차원 형태는 다음과 같다.

$\frac{\partial u}{\partial t}=c_v\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)$

다차원 이론은 1차원 이론의 연직 흐름 가정을 완화한 것이다. Biot는 흙 골격의 3차원 변형을 포함하는 이론을 제시했다.

3. 등장 배경과 필요성

포화 점토지반에 구조물을 세우면 하중에 따른 침하가 바로 끝나지 않고 장기간 이어진다. 공사 직후 허용침하를 넘어 구조물이 손상되거나 도로 포장에 단차가 생기는 사례가 많다. 설계자는 최종 침하량뿐 아니라 그 침하가 얼마나 빨리 일어나는지도 알아야 한다.

이 필요성 때문에 Terzaghi는 간극수 배출과 유효응력 증가를 연결한 1차원 압밀이론을 제안했다. 이 이론은 침하 시간 예측, 성토 높이 결정, 공사 기간 산정에 쓰인다. 또한 선행재하공법과 연직배수재(PVD) 설계처럼 배수 경로를 짧게 하는 개량 설계의 근거가 된다.

1차원 이론은 측정과 해석이 단순하다는 장점이 있다. 압밀시험(oedometer test)으로 얻는 압축곡선과 시간-침하곡선을 바로 쓸 수 있다. 반면 실제 지반은 수평 방향 흐름과 다차원 변형이 있어 이론과 현장 거동 사이에 차이가 생긴다. 이 차이는 침하량보다 침하 속도 예측에서 더 크게 나타난다.

이 한계를 보완하려고 다차원 흐름을 도입한 Terzaghi-Rendulic 이론이 나왔고, Biot는 3차원 압밀 이론을 정립했다. 다차원 해석은 배수 경계가 복잡하거나 연직·수평 투수성 차이가 클 때 필요하다. 실무에서는 1차원 해석으로 기본 판단을 하고, 필요할 때 다차원 해석과 계측으로 보정한다.

1차원 압밀이론은 간단하고 시험으로 정수를 얻을 수 있어 실무 표준이며, 다차원 이론은 그 한계를 보완한다.

4. 구성요소·원리·절차

압밀은 포화된 점토층에 하중이 가해지면 과잉간극수압이 발생하고, 그 과잉간극수압이 배수를 통해 소산되면서 흙입자 골격이 재배열되어 유효응력이 증가하고 체적이 줄어드는 현상이다. 이 과정을 수학적으로 기술하는 것이 압밀이론이며, 구성요소는 다음과 같다.

표만으로는 흐름의 방향과 배수 경계가 드러나지 않는다. 아래 구성도는 1차원 압밀에서 배수 조건과 지배 변수의 관계를 보인다.

Terzaghi 1차원 압밀방정식은 다음과 같다.

$\frac{\partial u}{\partial t}=c_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

여기서 u는 과잉간극수압(\mathrm{kPa}), t는 시간(\mathrm{s}), z는 배수 방향 거리(\mathrm{m}), c_v는 압밀계수(\mathrm{m^2/s})이다. 압밀계수는 다음과 같이 정의된다.

$c_v=\frac{k}{m_v\gamma_w}$

k는 투수계수(\mathrm{m/s}), m_v는 체적압축계수(\mathrm{m^2/kN}), \gamma_w는 물의 단위중량(\mathrm{kN/m^3})이다. 압밀계수는 투수성과 압축성을 함께 담는 값이다.

시간계수 T_v와 평균압밀도 U의 관계는 다음 절차로 구한다.

• 배수 조건(일면 배수 또는 양면 배수)과 배수거리 H_{dr}을 정한다.
• 시간계수 T_v=\dfrac{c_v t}{H_{dr}^2}를 구한다.
• 평균압밀도 U와 T_v의 관계식(또는 그래프)으로 압밀도를 구한다.
• 최종 침하량 S_c에 U를 곱해 시간 t에서의 침하량 S_t=U\cdot S_c를 구한다.

U≤60% 에서 T_v≈π/4·U²

압밀의 실질은 과잉간극수압의 소산에 따른 유효응력의 증가이다.

배수거리는 양면 배수이면 점토층 두께의 1/2, 일면 배수이면 점토층 두께 전체로 잡는다.

5. 관련 법령·기준·표준

토질 압밀의 설계와 시험은 법령보다 설계기준과 시험기준을 따른다. 국내에서는 건설기술 관련 설계기준(KDS)의 지반 편과 지반조사 기준, 그리고 압밀시험 기준(KS F 2316 계열의 압밀 시험법)을 주로 참조한다. 아래 표는 이 절에서 다루는 핵심 기준값과 판단 조건이다.

이 표의 T_v 값은 평균압밀도와 시간계수의 이론 관계에서 나온 값이다. 압밀계수 c_v 자체는 하중 단계마다 구해야 하며, 정규압밀 영역에서 과압밀 영역보다 작게 나타나는 경향이 있다. 실무에서는 Casagrande 법(log t 법)과 Taylor 법(√t 법)을 함께 비교해 채택한다.