압밀·침투 방정식

왜 배우는가: 압밀과 침투는 점토 지반의 침하 시간과 댐·제방의 누수 해석을 결정하는 기본 이론이다. 실무에서 침하 예측과 차수 설계의 출발점이 되며, 기술사 시험에서는 기본 가정과 방정식 유도를 묻는 문제로 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제117회 3교시 2번, 제111회 2교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

압밀·침투 방정식은 흙 속 간극수압의 소산과 물의 흐름을 연속방정식과 Darcy 법칙으로 표현한 편미분 방정식이다.

• Terzaghi 압밀방정식: 1차원 과잉간극수압 소산을 나타내는 편미분 방정식
• 압밀계수(coefficient of consolidation, c_v): 압밀 속도를 나타내는 계수
• Darcy 법칙: 흙 속 물의 흐름 속도가 동수경사에 비례한다는 법칙
• 연속방정식: 흙 요소에서 유입과 유출, 체적 변화가 같다는 질량 보존 식
• Laplace 방정식: 정상 상태 2차원 침투를 나타내는 방정식
• 유선망(flownet): 유선과 등수두선으로 침투를 그래프로 푸는 방법
• 배수거리: 간극수가 배수되는 최대 거리 H_{dr}

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 점토에 하중이 가해지면 처음에는 간극수가 압력을 받아 물이 빠지지 못하고, 시간이 지나 물이 빠지면서 흙이 천천히 줄어든다. 이 과정을 시간에 따라 수식으로 나타낸 것이 압밀방정식이다.

정식 정의로는, 압밀방정식은 흙 요소의 물 흐름 연속성과 유효응력 원리를 결합하여 과잉간극수압 u의 시간·깊이 변화를 나타내는 편미분 방정식이다. 침투방정식은 Darcy 법칙을 2차원 또는 3차원 요소에 적용해 얻는 Laplace 형태의 지배방정식이다.

핵심 용어를 풀면 다음과 같다.

1차 압밀은 과잉간극수압이 소산되어 유효응력이 증가하며 흙이 침하하는 단계다. 이 단계의 침하가 대부분을 차지한다.

2차 압밀은 과잉간극수압이 거의 소산된 뒤에도 흙 골격의 점성 재배열로 일어나는 침하다. 1차 압밀이 끝난 다음 완만하게 진행된다.

2차원 침투는 흙 속 물 흐름이 두 방향(x, z)으로 일어나는 경우다. 정상 상태에서는 전수두 h가 다음 식을 만족한다.

$k_x\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+k_z\frac{\partial^2 h}{\partial z^2}=0$

여기서 h는 전수두(m), k_x, k_z는 x, z 방향 투수계수(m/s)다. 이 식이 Laplace 방정식이며, 등수두선과 유선이 서로 직교한다.

3. 등장 배경과 필요성

포화 점토는 투수계수가 작아 하중이 가해진 뒤 간극수가 천천히 빠진다. 설계 시 이 시간 지연을 예측하지 못하면 구조물 준공 후 침하가 계속 발생한다. Terzaghi는 이 지연 현상을 설명하기 위해 1차원 압밀이론을 제안하였다.

댐과 제방에서는 기초와 본체를 통한 누수량과 출구 동수경사를 알아야 한다. 해석적 해를 얻기 어려운 2차원 경계조건에서는 Laplace 방정식과 유선망이 실용적인 도구가 된다. 이 두 방정식은 압밀 해석에서 시간 지연을, 침투 해석에서 누수와 파이핑 안전성을 각각 다룬다.

Terzaghi 이론의 기본 가정은 다음과 같다.

• 흙은 균질하고 완전 포화되어 있다.
• 흙 입자와 물은 비압축성이다.
• Darcy 법칙이 성립하고 투수계수는 일정하다.
• 변형은 미소하며 1차원으로 발생한다.
• 압축은 체적 압축계수 m_v에 비례하며, 하중은 즉시 가해진다.

이 가정 아래에서 압밀계수는 c_v = \dfrac{k}{m_v \gamma_w}로 주어진다.

4. 구성요소·원리·절차

압밀과 침투 문제는 모두 흙 속 물의 흐름과 간극수압의 소산을 다룬다. 1차원 압밀은 Terzaghi 압밀방정식으로, 2차원 침투는 라플라스 방정식(Laplace's equation)과 유선망(Flow Net)으로 푼다. 두 식의 구성요소와 풀이 절차를 함께 익혀 두면 답안 구성이 쉬워진다.

원리는 다음과 같다. 흙 요소에서 유입과 유출 유량의 차이가 체적 변화율과 같다는 연속 조건을 세운다. 달시 법칙을 대입하면 1차원 압밀방정식이 된다.

$\frac{\partial u}{\partial t}=c_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

여기서 z는 배수 경로의 깊이 방향 좌표, t는 시간, c_v는 압밀계수다. 해는 변수분리법으로 구한다. u(z,t)=X(z)·T(t)로 가정하면 시간항과 공간항이 분리되어 일반해가 된다. 경계조건(배수면에서 u=0, 불투수면에서 ∂u/∂z=0)과 초기조건(t=0에서 u=u₀)을 대입하고 급수로 전개한다.

압밀도 U_z 는 시간계수 T_v 만의 함수로 표현된다

$U_z=1-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2}{M}\sin(MZ)e^{-M^2T_v},\quad M=\frac{\pi}{2}(2m+1)$

여기서 Z는 무차원 깊이(z/H_dr), M은 고유값, T_v는 시간계수다. 급수를 앞 몇 항만 써도 U_z 가 50~60% 이하에서는 T_v 와 근사 관계를 가진다.

2차원 침투는 정상상태에서 라플라스 방정식으로 기술된다.

$k_x\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+k_z\frac{\partial^2 h}{\partial z^2}=0$

여기서 h는 전수두(total head), k_x와 k_z는 x, z 방향 투수계수다. 해를 얻는 방법은 두 가지다. 해석해는 형상과 경계조건이 단순할 때만 가능하다. 실무에서는 유선망을 그려 근사한다. 유선(flow line)과 등수두선(equipotential line)은 서로 직교하며 요소가 정사각형에 가깝게 그려진다.

절차는 다음과 같다.

• 경계조건을 정하고 불투수층과 침투면을 표시한다.
• 유선을 대략 그리고 등수두선을 그려 정사각형 요소의 망을 만든다.
• 흐름 채널 수 N_f와 등수두 강하 수 N_d를 센다.
• 단위폭당 침투유량을 계산한다.
• 출구 동수경사와 침투수압을 검토한다.

유량 공식은 다음과 같다.

$q=k\cdot H\cdot\frac{N_f}{N_d}$

여기서 q는 단위폭당 유량(㎥/s·m), k는 투수계수(m/s), H는 총수두차(m), N_f는 흐름 채널 수, N_d는 등수두 강하 수다. 비등방 흙에서는 x 방향으로 축소한 좌표로 바꾸어 등가투수계수 k_eq = √(k_x·k_z) 를 적용한다.

N_f/N_d 는 정사각형 요소 기준

5. 관련 법령·기준·표준

토질역학의 압밀·침투 해석은 법령이 수치를 정하는 분야가 아니다. 설계에서는 국내 설계기준과 시험기준을 따르며, 개념 기준은 아래와 같다. 조 번호는 확인된 것만 쓴다.

개정 연혁으로는 국내 지반조사·시험 기준이 주기적으로 갱신되어 왔다. 압밀 해석에 쓰는 Terzaghi 이론 자체는 1920년대에 제안되어 수정 없이 쓰이고 있다.

압밀시험 결과는 설계 입력값으로 쓰기 전에 방법과 조건을 확인해야 한다

6. 유형과 비교

압밀·침투 방정식은 흐름 차원과 해석 방법에 따라 여러 형태로 나뉜다. 답안에서는 1차원 압밀, 2차원 정상침투, 유선망 해법을 구분해 쓰는 것이 핵심이다.