주응력

왜 배우는가: 주응력은 한 점에서 전단응력이 0이 되는 면의 수직응력이며, 판형 거더·축·켄틸레버처럼 휨과 비틀림, 축력이 겹치는 부재의 최대 인장·압축 응력을 판정하는 기준이다. 실무에서는 항복·파괴 판정(최대주응력설, von Mises 등)의 입력값으로 쓰이고, 시험에서는 모어원을 이용한 응력 변환 문제로 4개 회차에 걸쳐 반복 출제되었다.

출제 이력: 제130회 3교시 6번, 제127회 1교시 13번, 제65회 2교시 2번, 제64회 4교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

주응력은 한 점에서 전단응력이 0이 되는 면에 작용하는 수직응력으로, 그 면을 주응력면이라 한다.

• 주응력(principal stress)
• 주응력면(principal plane)
• 모어의 응력원(Mohr's circle of stress)
• 최대 전단응력(maximum shear stress)
• 평면응력상태(plane stress)
• 응력 변환(stress transformation)

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 한 점에 여러 방향의 응력이 섞여 있을 때 전단응력이 사라지는 면을 찾고, 그 면에 남아 있는 수직응력 중 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 것이다. 이 두 값이 주응력이다.

정식으로는 평면응력상태에서 면의 법선이 x축과 이루는 각을 θ라 할 때, 그 면의 수직응력 σ_θ와 전단응력 τ_θ는 다음과 같다. 응력 부호는 인장을 양(+)으로 한다.

$\sigma_\theta=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$

$\tau_\theta=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta+\tau_{xy}\cos 2\theta$

여기서 σ_x, σ_y는 x, y면의 수직응력(MPa), τ_xy는 전단응력(MPa), θ는 x축에서 잰 면의 각도다.

주응력은 τ_θ = 0 이 되는 θ에서 얻는다. 이때 2θ_p 는 다음 식으로 정해진다.

$\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$

주응력은 다음과 같다.

$\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$

모어의 응력원은 이 식을 그래프로 옮긴 것이다. 가로축은 수직응력, 세로축은 전단응력이다. 원의 중심은 \left(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},0\right)이고 반지름은 R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}이다. 원이 가로축과 만나는 두 점이 주응력이다.

Principal Stress 는 이 원의 가로축 끝점이고, Maximum Shear Stress 는 원의 꼭대기 점이므로 최대 전단응력은 반지름과 같다.

$\tau_{max}=R=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}$

모어원에서 실제 물리 면의 각도는 원 위 점 사이 각의 절반이다. 원 위 각이 2θ 로 나오므로 면 방향은 그 절반을 쓴다. 이 점을 빠뜨리면 방향이 두 배로 나온다.