강재 장주 내하력

왜 배우는가: 강재 장주의 내하력은 압축부재를 설계할 때 좌굴로 결정되는 강도를 판단하는 기본 개념이다. 강교량의 트러스 압축재, 아치 부재, 주탑 같은 부재는 강도보다 안정성이 설계를 지배하므로 실무에서 매번 검토한다. 시험에서는 용어 정의, 영향 인자, 계산 문제로 반복 출제되므로 정의와 식, 인자를 함께 익혀야 한다.

출제 이력: 제64회 1교시 1번, 제63회 4교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

강재 장주의 내하력은 세장한 압축부재가 좌굴로 무너지는 한계 압축하중이며, 세장비·탄성계수·단면 2차모멘트·지지조건으로 정해진다.

• 장주(長柱, slender column): 단면 크기에 비해 길이가 긴 압축부재다.
• 좌굴(buckling): 압축력으로 부재가 횡방향으로 휘며 불안정해지는 현상이다.
• 세장비(slenderness ratio): 유효좌굴길이를 단면 2차반경으로 나눈 값이다.
• 유효좌굴길이계수(effective length factor, K): 지지조건이 좌굴길이에 주는 영향을 나타내는 계수다.
• 오일러 좌굴하중(Euler buckling load): 탄성 범위에서 이론적으로 구한 한계 좌굴하중이다.
• 비탄성좌굴(inelastic buckling): 재료가 비례한도를 넘은 상태에서 일어나는 좌굴이다.
• 초기 결함(initial imperfection): 초기 휨, 편심, 잔류응력처럼 내하력을 낮추는 요인이다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 장주는 가늘고 긴 압축부재다. 압축력이 커지면 재료가 부서지기 전에 옆으로 휘면서 무너진다. 이 현상이 좌굴이다. 좌굴이 일어나는 순간의 하중이 장주의 내하력이다.

정식 정의는 다음과 같다. 탄성 재료로 된 완벽하게 곧은 장주에 축하중이 작용할 때, 불안정해지는 한계 하중 P_{cr}을 탄성좌굴하중 또는 오일러 좌굴하중이라 한다. 이 하중을 구하는 식은 다음과 같다.

$P_{cr}=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$

여기서 E는 탄성계수(MPa), I는 좌굴축의 단면 2차모멘트(mm⁴), L은 부재 길이(mm), K는 유효좌굴길이계수다. 응력으로 나타내면 다음과 같다.

$\sigma_{cr}=\frac{\pi^2 E}{\left(\frac{KL}{r}\right)^2}=\frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$

여기서 r은 좌굴축에 대한 단면 2차반경(mm), \lambda=KL/r은 세장비다. 식에서 보듯 좌굴응력은 세장비의 제곱에 반비례한다. 세장비가 커질수록 내하력은 급격히 줄어든다.

유효좌굴길이계수 K는 양단 지지조건으로 정한다. 양단 핀 지지나 한쪽 고정·다른 쪽 자유 등 지지조건에 따라 K를 정한다. 같은 부재라도 지지조건을 강하게 하면 좌굴길이가 줄어 내하력이 커진다.

좌굴 방식은 세장비에 따라 세 영역으로 나뉜다. 짧은 부재는 재료의 항복강도가 지배하여 좌굴 전에 항복한다. 중간 길이 부재는 일부가 소성화된 상태에서 비탄성좌굴한다. 긴 부재는 탄성 범위에서 오일러 식으로 좌굴한다. 단주(short column)는 세장비가 특정 기준값 미만인 기둥을 말하고 장주(long column)은 세장비가 100 이상인 기둥을 말한다. 세장비의 구분 기준은 적용 기준에 따라 확인해 답안에 쓴다.

3. 등장 배경과 필요성

강재의 고강도화와 설계 경량화가 진행되면서 단면을 얇고 가늘게 쓰는 경향이 커졌다. 그 결과 재료 강도보다 좌굴이 먼저 한계를 정하는 부재가 늘었다. 강교량에서는 트러스 압축 현재, 아치 부재, 주탑, 가로보 압축 부재가 이에 해당한다. 압축재는 인장재와 달리 강도보다 안정성으로 내하력이 결정되므로 별도의 검토가 필요하다.

실제 부재는 완벽하게 곧지 않다. 하중 작용선이 도심과 일치하지 않는 편심이 있고, 제작과 용접 과정에서 생긴 초기 결함도 있다. 편심 축하중을 받거나 부재가 처음부터 휘어 있으면 축방향 응력과 휨응력이 함께 작용하므로 이론 오일러 하중보다 실제 내하력이 낮아진다. 설계기준이 좌굴곡선과 감소계수를 두는 이유가 여기에 있다.

단면이 대칭이 아니면 횡방향 좌굴과 함께 또는 그 이전에 비틀림좌굴이 생길 수 있다. 얇은 판을 조립한 압축재나 비대칭 단면에서 이런 현상이 나타난다. 따라서 장주의 내하력 검토는 세장비만 보는 것으로 끝나지 않고, 단면 형상과 좌굴 모드를 함께 확인해야 한다. 이 점이 강재 장주 문제를 단순 강도 계산과 구별하는 핵심이다.

4. 구성요소·원리·절차

장주 내하력은 오일러 좌굴하중을 출발점으로 한다. 부재가 가늘고 길면 재료 강도에 닿기 전에 횡방향 변위가 커지며 불안정해진다. 내하력을 정하는 구성요소는 네 가지다.

위 네 인자 중 KL과 단면 2차 반경 r(=√(I/A))이 세장비를 만든다. 세장비가 내하력의 대부분을 결정한다. 같은 단면이라도 길이가 두 배가 되면 탄성좌굴하중은 약 1/4로 줄어든다.

원리는 두 식으로 정리된다. 탄성좌굴하중은 다음과 같다.

$P_{cr}=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$

여기서 P_cr은 탄성좌굴하중(N), E는 탄성계수(N/mm²), I는 좌굴축 단면 2차 모멘트(mm⁴), K는 유효좌굴길이계수, L은 부재 길이(mm)다. 이를 단면적 A로 나누면 좌굴응력이 된다. 세장비 λ=KL/r로 쓰면 다음과 같다.

$F_e=\frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$

세장비가 커질수록 F_e는 제곱에 반비례해 떨어진다. 세장비가 작아 F_e가 항복강도 Fy를 넘으면 재료 항복이 먼저 일어난다. 이 영역은 비탄성 좌굴로 따로 다룬다. 탄성과 비탄성의 경계는 적용 설계기준에서 정한 세장비 한계로 판별하며 구체 기준은 5절에 정리한다.

내하력은 재료 강도보다 세장비와 지지 조건에 좌우된다.

좌굴 강도 산정 절차는 다음과 같다.

• 양단 지지 조건을 확인하고 유효좌굴길이계수 K를 정한다.
• 좌굴축별 단면 2차 반경 r을 구하고 세장비 λ=KL/r을 계산한다.
• λ와 λ_c를 비교해 탄성 또는 비탄성 좌굴 영역을 판별한다.
• 해당 식으로 좌굴응력 F_cr을 구한다. 탄성 영역은 F_e를, 비탄성 영역은 항복강도를 반영한 식을 쓴다.
• 설계압축강도는 P_n=F_cr·A_g로 구하고, 허용응력 방식이면 안전율을 적용한다.

핀으로 연결된 경사 압축부재는 양단 힌지로 본다. 지점의 구속 조건에 따라 유효좌굴길이계수를 정한다. 판별 순서는 아래 도식과 같다.

5. 관련 법령·기준·표준

국내 강구조 압축부재 설계는 강구조 설계기준(KDS 체계)을 따른다. 교량 부재는 도로교설계기준이 함께 적용된다. 설계법은 과거 허용응력설계법에서 한계상태설계법으로 옮겨 왔다. 문제에서 주어진 허용압축응력은 허용응력설계법의 값이므로 그 방식으로 풀이한다. 설계 적용 시에는 적용 기준과 조건을 확인한다.

탄성계수는 강종과 무관하게 거의 일정하다. 따라서 내하력 차이는 세장비와 지지 조건에서 나온다. 세장비 한계는 주부재의 권장값이며 부재 용도에 따라 달리 적용할 수 있다. 허용응력설계와 한계상태설계는 같은 값으로 환산되지 않으므로 두 방식의 수치를 섞어 쓰지 않는다. 국외 기준의 경계식은 개념 확인용으로만 쓰고 국내 기준과 대조한다.

E=2.0×10^5 MPa 같은 값은 탄성 영역 계산의 기본 입력이므로 답안에 항상 명시한다.

6. 유형과 비교

강재 장주의 내하력은 좌굴 형태와 세장도, 단면 형상에 따라 결정된다. 압축재의 좌굴은 휨좌굴, 비틀림좌굴, 휨-비틀림좌굴로 나뉘며, 단면 형상이 어떤 형태를 지배하는지가 판단의 출발점이다.