이종재료 합성보 휨공식

왜 배우는가: 합성보는 긴 경간 구조에서 단면 크기와 재료비를 줄이려고 서로 다른 재료의 장점을 결합한 부재다. 휨공식을 환산단면으로 적용하는 방법은 1교시 용어 문제와 3교시 논술 문제에서 반복해 출제된다. 응력 분포와 중립축 위치를 함께 이해해야 답안이 완성된다.

출제 이력: 제122회 1교시 10번, 제110회 3교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

합성보는 탄성계수가 다른 두 재료를 일체로 결합해 휨에 저항하게 한 보이며, 탄성계수비로 환산한 단면에 휨공식을 적용한다.

• 합성보, 완전합성, 탄성계수비, 환산단면, 중립축, 휨응력, 전단연결재

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 두 가지 재료를 한 몸처럼 묶어 휨 하중을 나눠 받게 한 보다. 정식으로는 탄성계수가 서로 다른 재료가 단면 안에서 변형률 적합 조건을 만족하며 함께 거동하는 보를 뜻한다.

완전합성은 두 재료의 경계면에서 미끄러짐이 없는 상태를 말한다. 이 상태에서만 두 재료가 같은 곡률로 변형하므로 평면보존 가정을 그대로 쓸 수 있다. 미끄러짐이 있으면 부분합성으로 보고 별도 해석한다.

탄성계수비는 기준 재료의 탄성계수에 대한 다른 재료 탄성계수의 비다. 목재와 알루미늄 합성보에서 기준 재료를 목재로 잡으면 $n=\frac{E_a}{E_w}$ 로 정의된다. 여기서 E_a는 알루미늄 탄성계수, E_w는 목재 탄성계수다.

환산단면은 다른 재료의 폭에 탄성계수비 n을 곱해 기준 재료 폭으로 바꾼 단면이다. 환산 후에는 단일 재료 보로 보고 단면 성질을 계산한다. 예를 들어 주어진 탄성계수 값으로 환산계수를 계산한다.

중립축은 환산단면의 도심을 지나는 축이며, 이 축 위의 휨 변형률은 0이다. 중립축 위치는 환산단면의 단면 1차모멘트가 0이 되는 조건으로 구한다.

휨응력은 중립축으로부터 거리 y에 비례해 선형으로 변한다. 응력은 재료의 탄성계수를 곱해 구하므로 같은 변형률에서도 탄성계수가 큰 재료에 더 큰 응력이 생긴다. 이 점이 합성보 응력 해석의 핵심이다.

전단연결재는 두 재료 경계에 작용하는 수평전단력을 전달하는 부재다. 강재 보와 콘크리트 바닥판 사이의 스터드가 대표적이며, 완전합성을 확보하는 수단이다.

3. 등장 배경과 필요성

단순보 경간을 늘리면 휨모멘트는 경간 길이의 제곱에 비례해 커진다. 등분포 하중에서 최대 휨모멘트는 wL^2/8 이므로 경간이 두 배가 되면 모멘트는 네 배가 된다. 이를 견디려면 단면 높이를 키워야 하고, 이는 자중과 재료비 증가로 이어져 경제성을 떨어뜨린다.

이 문제를 해결하려고 재료의 성질을 나눠 쓰는 방법이 쓰였다. 콘크리트는 압축에 강하고 강재는 인장에 강하므로, 두 재료를 결합하면 단면 크기를 줄이면서도 긴 경간을 만들 수 있다. 합성보 기술은 이런 필요에서 발전했다.

국내에서는 1981년 반포대교 거더에 I형 강재보를 합성보로 사용한 사례가 있다. 강재 보 위에 콘크리트 바닥판을 일체화해 긴 형교 경간을 실현했다. 이후 PC 보와 RC 바닥판을 결합한 PC합성보, 파형강판과 PC를 결합한 합성보 등으로 종류가 늘었다.

합성보가 실제로 한 몸으로 거동하려면 경계면의 수평전단력을 확실히 전달해야 한다. 이 역할을 전단스터드 같은 전단연결재가 맡는다. 연결재가 부족하면 두 재료가 따로 휘어 중립축이 분리되고, 휨공식의 가정이 깨진다.

따라서 합성보 해석은 재료 성질의 차이를 탄성계수비로 반영하는 것, 환산단면으로 단일 재료 문제로 바꾸는 것, 완전합성 여부를 확인하는 것의 세 단계로 이루어진다. 이 세 단계가 휨공식 설명의 기본 골격이 된다.

4. 구성요소·원리·절차

합성보는 탄성계수가 다른 두 재료를 한 단면으로 일체화해 휨에 저항하는 부재다. 해석의 출발점은 평면보존의 가정이다. 단면의 변형률은 중립축에서 거리에 비례해 선형으로 변하고, 두 재료는 같은 곡률을 가진다. 이 가정 아래에서 재료별 응력은 탄성계수 비에 따라 달라진다.

표의 구성은 환산단면법의 기본 틀이다. 상이 재료는 탄성계수비 n만큼 폭을 늘려 기준 재료로 바꾸어 계산한다. 환산 후에는 단일 재료 보와 같은 식을 쓸 수 있다.

원리는 두 가지 평형식으로 정리된다. 첫째, 축방향 힘의 합이 0이어야 하므로 $\int E\,y\,dA = 0$ 이다. 이 조건으로 환산 중립축의 위치가 정해진다. 둘째, 휨모멘트는 단면 응력의 합과 같아야 하므로 $M = \int \sigma\,y\,dA$ 이다. 이 식에서 곡률 1/ρ 를 소거하면 합성보의 휨응력식이 나온다.

환산 중립축 위치 $y_c = \dfrac{\sum n_i A_i y_i}{\sum n_i A_i}$ 에서 n_i는 탄성계수비, A_i는 재료별 단면적(mm²), y_i는 기준선에서 각 도심까지 거리(mm)다.

환산 단면 2차모멘트 $I_{tr} = \sum \left( I_i + A_i d_i^2 \right)$ 에서 n_i를 곱한 A_i를 쓴다. d_i는 환산 중립축에서 각 도심까지 거리(mm)다.

휨응력 식은 $\sigma_1 = \dfrac{M y}{I_{tr}}, \qquad \sigma_2 = \dfrac{n M y}{I_{tr}}$ 이다. M은 휨모멘트(N·mm), y는 환산 중립축에서 응력점까지 거리(mm), I_{tr}은 환산 단면 2차모멘트(mm⁴)다. 응력의 부호는 인장을 양, 압축을 음으로 한다.

합성보 응력은 환산단면의 중립축 기준으로 구하고, 상이 재료 응력에는 탄성계수비 n을 곱한다

해석 절차는 다음과 같다.

• 두 재료의 탄성계수를 확인하고 기준 재료를 정한다.
• 탄성계수비 n = E2/E1 을 구하고 상이 재료 폭을 n배로 환산한다.
• 환산 단면의 도심(중립축 위치) y_c 를 구한다.
• 환산 단면의 I_tr 을 평행축 정리로 계산한다.
• 최대 인장·압축 응력 위치의 y 를 정해 σ 를 계산한다.
• 재료별로 n 배 여부를 적용해 각 재료의 응력을 정리한다.

전단연결재가 완전합성 조건을 만족하지 못하면 접촉면에서 미끄럼이 생긴다. 이때 단면 2차모멘트는 두 부재 I 의 단순 합에 가까워지므로 식을 그대로 쓰면 과대평가가 된다. 이 경우 부분합성으로 따로 검토해야 한다.

5. 관련 법령·기준·표준

합성보는 강구조와 콘크리트구조 설계기준에서 함께 다룬다. 국내에서는 KDS 체계의 강구조 설계기준과 콘크리트 구조 설계기준을 함께 확인한다. 기준 조항 번호는 확인되지 않아 이름만 적는다.

표의 값은 기준서별 조건에 따라 달라진다. 특히 유효폭과 스터드 간격은 적용 조건을 함께 확인해야 한다. 콘크리트 탄성계수는 설계기준강도의 함수로 정해지며, 구체 식은 기준서를 따른다.

유효폭은 슬래브 폭을 얼마나 합성에 포함하는지 정하는 값이다. 포함 폭이 넓을수록 I_tr 이 커져 응력이 낮게 나온다. 따라서 과도하게 넓게 잡으면 위험측 해석이 된다.

전단연결재의 최소 설치량과 간격은 완전합성과 부분합성의 구분 기준이 된다. 기준값을 만족하지 않으면 부분합성 식을 써야 한다. 이때 단면 2차모멘트 계산에 유효 강성 보정이 들어간다.

개정 연혁은 확인된 자료가 없어 기술하지 않는다.

6. 유형과 비교

합성보는 두 재료의 결합 방식과 단면 형식에 따라 나뉜다. 대표 유형은 강재 보 위에 콘크리트 바닥판을 올린 강-콘크리트 합성보, 강판과 콘크리트로 상자 단면을 만든 상형 보, PC 보에 RC 바닥판을 일체화한 PC합성보, 파형강판을 PC와 결합한 파형강판PC합성보다. 유형마다 전단연결재의 역할과 완전합성과 부분합성의 구분이 달라진다.