처짐각법

왜 배우는가: 처짐각법은 부재단 모멘트를 절점 회전각과 부재 상대변위로 표현한 뒤 평형식을 세워 풀어내는 변위법의 대표 해석법이다. 라멘과 연속보의 부정정 해석에서 기본 틀이 되며, 모멘트 분배법과 매트릭스 강성법의 바탕이 되므로 구조역학 전반에서 반복해 묻는다. 기술사 시험에서도 라멘의 반력과 휨모멘트도, 연립방정식 세우기 문항으로 출제된다.

출제 이력: 제108회 2교시 6번, 제66회 4교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄에 쓸 정의 문장은 다음과 같다.

처짐각법은 부재단 모멘트를 절점의 회전각과 부재 양단의 상대변위로 나타낸 뒤, 절점 모멘트 평형과 층 전단 평형으로 미지수를 구하는 변위법이다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 처짐각법(Slope Deflection Method)
• 처짐각 방정식(Slope Deflection Equation)
• 고정단 모멘트(Fixed End Moment)
• 강도계수(Stiffness Factor)
• 현회전각(Chord Rotation)
• 절점 평형 방정식(Joint Equilibrium Equation)
• 전단 평형 방정식(Shear Equilibrium Equation)

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 부재 양 끝이 얼마나 돌았는지와 두 끝이 얼마나 상대적으로 밀렸는지를 알면 그 부재에 생기는 모멘트를 식으로 바로 쓸 수 있다는 방법이다. 미지수는 힘이 아니라 변위(회전각과 횡변위)로 잡는다.

정식 정의는 다음과 같다. 처짐각 방정식은 자유도에 해당하는 변위가 발생할 때 부재단에 생기는 모멘트를 부재의 강성과 부재 양단의 처짐각, 상대변위의 항으로 나타낸 식이다. 부재 ab의 a단과 b단 모멘트는 각각 M_{ab}=\frac{2EI}{L}(2\theta_a+\theta_b-3\psi)+M_{ab}^{F}, M_{ba}=\frac{2EI}{L}(\theta_a+2\theta_b-3\psi)+M_{ba}^{F} 로 쓴다. 여기서 \theta_a, \theta_b 는 각 단의 처짐각, \psi 는 두 지점의 상대변위에 따른 현회전각(\psi=\Delta/L), M^{F} 는 고정단 모멘트다. 부호는 시계 방향 회전과 모멘트를 양(+)으로 잡는 규약을 따른다.

고정단 모멘트는 모든 절점을 고정했을 때 부재단에 생기는 모멘트다. 하중이 있을 때 이 값이 처짐각 방정식에 더해진다. 강도계수는 부재의 \frac{2EI}{L} 과 같은 항으로, 부재가 단위 회전각을 받을 때 필요한 모멘트를 뜻한다. 현회전각은 부재 양단을 잇는 직선이 기울어진 각으로, 횡변위나 지점 침하로 생긴다.

핵심 용어 풀이는 다음과 같다.

• 절점 평형 방정식: 각 강접 절점에서 연결된 부재단 모멘트의 합이 0이어야 한다는 식이다.
• 전단 평형 방정식: 횡변위가 있는 층에서 기둥 전단력의 합이 외력과 맞아야 한다는 식이다. 절점 평형만으로는 횡변위 미지수를 풀 수 없어 필요하다.

3. 등장 배경과 필요성

정정 구조는 힘의 평형 방정식만으로 반력과 부재력을 구한다. 그러나 부정정 구조는 평형 방정식이 부족하므로 변형 조건을 추가해야 한다. 힘을 미지수로 잡는 응력법은 부정정 차수가 커질수록 계산이 복잡해진다.

이에 비해 처짐각법은 절점 회전각과 횡변위를 미지수로 잡는다. 미지수 개수가 강접 절점 수와 횡변위 자유도 수로 정해져 구조가 커져도 체계적으로 다룰 수 있다. 이 장점 때문에 변위법이 현대 구조해석의 강성법으로 발전하였다.

처짐각법은 수계산 해석법으로 널리 쓰였다. 처짐각법은 모멘트 분배법과 함께 1930년대 이후 골조 해석의 기본 수계산법으로 자리 잡았다.

모멘트 분배법은 처짐각법에서 발전했지만, 처짐각법이 절점 회전각을 미지수로 하여 연립방정식을 세우는 반면 모멘트 분배법은 부재단 모멘트를 미지수로 하여 반복 계산한다. 두 방법의 구분을 답안에 분명히 쓴다.

4. 구성요소·원리·절차

처짐각법은 미지수를 절점의 회전각과 부재의 상대변위(부재 현회전각)로 잡고, 부재단 모멘트를 이 변위의 식으로 나타낸 뒤 평형식을 세워 푸는 방법이다. 해석 대상 구조의 자유도는 절점 회전각과 횡변위(sidesway)의 수로 정해진다. 구성요소는 다음과 같다.

원리는 두 가지다. 첫째, 부재의 변형은 휨 모멘트에 의해서만 생긴다고 보고 부재단 모멘트와 변위의 관계를 선형식으로 둔다. 둘째, 절점과 층에서 힘과 모멘트의 평형을 만족하도록 미지수를 정한다. 부재 AB의 A단 모멘트는 다음과 같이 쓴다.

$M_{AB}=\frac{2EI}{L}\left(2\theta_A+\theta_B-3\psi\right)+M_{AB}^{F}$

여기서 M_{AB}는 A단 부재단 모멘트(kN·m), E는 탄성계수(kN/m²), I는 단면2차모멘트(m⁴), L은 부재 길이(m), \theta_A, \theta_B는 양단 회전각(rad), \psi는 부재 현회전각 \Delta/L(rad), M_{AB}^{F}는 고정단 모멘트(kN·m)이다. 부호는 시계 방향 회전각과 모멘트를 양으로 한다.

풀이 절차는 다음과 같다.

• 절점의 회전각과 횡변위를 미지수로 정하고 자유도 수를 센다.
• 각 부재의 강성 k=I/L과 고정단 모멘트를 구한다.
• 부재단 모멘트를 처짐각 방정식으로 모두 쓴다.
• 절점마다 모멘트 평형식을 세운다.
• 횡변위가 있는 층마다 전단 평형식을 세운다.
• 연립방정식을 풀어 회전각과 횡변위를 구한다.
• 회전각을 처짐각 방정식에 대입해 재단 모멘트를 구하고, 반력은 부재 평형으로 구한다.

자유도는 절점 회전각 수와 독립 횡변위 수의 합이다

5. 관련 법령·기준·표준

처짐각법은 구조역학의 해석 이론이므로 법령 조문이 없다. 적용 기준은 설계기준(강구조·콘크리트 구조 설계기준)의 하중 조합과 부재 강성 가정이다. 해석 결과의 안전성은 설계기준의 한계상태 검토로 확인한다. 아래 표는 본 절에서 쓰는 기준 수치와 가정을 모은 것이다.

개정 연혁: 처짐각법 자체는 고전 해석법이라 개정되지 않았다.

부재단 모멘트 식의 강성 계수 2EI/L 현회전각 ψ=Δ/L 등분포 하중의 고정단 모멘트 중앙 집중하중의 고정단 모멘트 시계 방향 회전각·모멘트 양(+)

6. 유형과 비교

처짐각법은 해석 대상 구조물의 형태와 변위 자유도에 따라 적용 방식이 나뉜다. 가장 먼저 구분할 것은 무변위 골조와 횡변위(sway) 골조다. 무변위 골조는 절점 회전각만 미지수이고, 횡변위 골조는 부재의 현회전각(chord rotation)이 추가 미지수가 된다. 두 경우의 방정식 구성이 달라진다.

표에서 보듯 연속보는 절점 평형식만으로 풀린다. 횡변위가 생기는 골조는 절점 평형식과 전단 평형식을 함께 세워야 한다. 전단 평형식은 기둥의 전단력 합이 횡하중과 같다는 조건이다. 이 조건이 빠지면 미지수 개수와 식의 개수가 맞지 않아 해를 구할 수 없다.

처짐각법과 모멘트분배법은 같은 결과를 얻는 두 방법이다. 차이는 미지수다. 처짐각법은 절점 회전각을 미지수로 하고 연립방정식을 푼다. 모멘트분배법은 부재단 모멘트를 미지수로 하고 불균형 모멘트를 반복 분배한다. 수계산에서는 자유도가 적은 구조물에 처짐각법이 빠르고, 자유도가 많으면 모멘트분배법이 편하다.