강구조 좌굴

왜 배우는가: 강구조 부재는 압축과 휨을 받을 때 강도보다 먼저 좌굴로 무너지는 경우가 많아 설계의 지배 조건이 된다. 강구조 설계 시험에서 좌굴은 부재 설계, 판폭두께비, 횡좌굴 등 여러 문항으로 반복 출제되므로 개념의 정의와 원리를 정확히 익혀야 한다.

출제 이력: 제108회 4교시 1번, 제95회 4교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄에 쓸 정의 문장은 다음과 같다.

좌굴은 압축력을 받는 부재가 하중 증가 없이 횡방향 변위가 급증해 강도를 잃는 불안정 현상이다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 좌굴(Buckling): 압축재가 횡방향으로 과도하게 휘어 안정성을 잃는 현상
• 임계하중(Critical load): 좌굴이 시작되는 최소 하중
• 세장비(Slenderness ratio): 유효좌굴길이와 단면 회전반경의 비
• 오일러 좌굴하중(Euler buckling load): 탄성 좌굴 임계하중의 이론식
• 판좌굴(Plate buckling): 얇은 판요소가 면내 압축을 받아 국부적으로 휘는 현상
• 횡좌굴(Lateral-torsional buckling): 휨재 압축 플랜지가 횡방향 변위와 비틀림을 동반하는 현상
• 판폭두께비(Width-thickness ratio): 판요소 폭과 두께의 비, 국부좌굴 판정 기준

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 좌굴은 가늘고 긴 부재가 누르는 힘을 받을 때 어느 순간 갑자기 옆으로 휘는 현상이다. 재료가 항복하기 전에 부재 전체가 무너지므로 강재의 강도를 다 쓰지 못한다.

정식 정의는 압축을 받는 물체가 어느 한계에서 하중이 더 증가하지 않아도 압축 방향에 수직인 변형이 급격히 커지는 현상이다. 하중을 제거해도 변형이 회복되지 않는 비탄성 거동을 보일 수 있다.

좌굴은 부재 형태에 따라 세 가지로 나뉜다. 첫째는 기둥이 축 방향 하중을 받아 횡방향으로 휘는 부재 전체 좌굴(Global buckling)이다. 둘째는 얇은 판요소가 압축을 받아 판 자체가 파형으로 휘는 국부좌굴(Local buckling)이다. 셋째는 휨을 받는 보의 압축 플랜지가 옆으로 밀리며 비틀리는 횡좌굴이다.

좌굴 임계하중은 부재가 좌굴하기 시작하는 최소 하중이다. 세장비가 클수록, 즉 부재가 길고 단면 회전반경이 작을수록 임계하중과 임계응력은 낮아진다.

오일러 공식은 이상적인 양단 핀 기둥의 탄성 임계하중을 설명하는 이론식이다.

여기서 P_{cr}은 임계하중(N), E는 탄성계수(N/mm²), I는 최소 단면 2차 모멘트(mm⁴), K는 유효길이계수(무차원), L은 비지지 길이(mm)이다. 양단 핀일 때 K=1.0이고, 양단 고정이면 K=0.50이다. 한쪽 고정 한쪽 핀이면 K=0.70, 한쪽 고정 한쪽 자유이면 K=2.0이다.

임계응력은 \sigma_{cr}=P_{cr}/A이고, 회전반경 r=\sqrt{I/A}를 쓰면 \sigma_{cr}=\pi^2E/(KL/r)^2로 쓸 수 있다. 여기서 KL/r이 세장비다. 이 식에서 좌굴응력은 재료 강도가 아니라 탄성계수와 세장비가 결정한다는 점이 핵심이다.

판요소의 국부좌굴 응력은 \sigma_{cr}=\pi^2 k D (t/b)^2 형태로 표현되며, k는 판좌굴계수, D는 판강성, b/t는 판폭두께비다. 판의 지지 상태와 하중 종류에 따라 k가 달라진다.

3. 등장 배경과 필요성

강구조 부재는 강재의 고강도 특성을 살려 얇고 날씬하게 설계된다. 그 결과 단면이 가벼워질수록 강도보다 안정성이 먼저 한계에 도달한다. 재료가 항복하기 전에 좌굴이 먼저 일어나면 부재의 실제 저항력은 항복강도보다 훨씬 낮아진다.

오일러가 1757년에 좌굴 미분방정식으로 기둥의 탄성 좌굴하중을 구한 것이 이론의 출발점이다. 이후 실제 기둥은 초기 휨, 잔류응력, 제작 오차가 있어 오일러 식보다 낮은 강도를 보인다는 것이 실험으로 확인되었다. 이 차이를 메우기 위해 강구조 설계기준은 세장비에 따라 강도를 낮추는 압축강도식을 두었다.

판 부재에서도 고강도 강재를 쓰면 판이 얇아져 국부좌굴이 설계를 지배하게 되었다. 그래서 설계기준은 판폭두께비 제한으로 조밀단면과 비조밀단면, 세장판 단면을 나눈다. 교량에서는 긴 지간의 거더와 대형 압축재가 많아 횡좌굴과 압축재 좌굴을 함께 검토해야 한다.

따라서 좌굴은 부재 형상, 재료 강도, 경계조건, 잔류응력을 함께 다루는 강구조 설계의 기본 개념이다.

4. 구성요소·원리·절차

좌굴 거동은 세장비(slenderness ratio), 유효좌굴길이(effective length), 폭두께비(width-thickness ratio), 보강재 강성으로 정해진다. 설계는 이 네 요소를 나누어 검토한다.

전체 좌굴은 부재 길이와 단부 조건이, 국부 좌굴은 판의 두께와 폭이 결정한다. 두 검토를 모두 통과해야 부재 강도가 확보된다.

원리는 축하중이 임계값에 도달하면 직선 평형이 불안정해지고 횡변위가 급증하는 것이다. 탄성 범위에서는 오일러 이론으로 임계하중을 평가한다.

P_{cr}: 임계하중(N), E: 탄성계수(MPa), I: 좌굴축 단면 2차 모멘트(mm⁴), K: 유효좌굴길이계수, L: 부재 길이(mm)이다. 임계하중은 길이의 제곱에 반비례하므로 길이를 두 배로 하면 허용 하중은 1/4 이 된다.

응력으로 나타내면 다음과 같다.

$F_e = \frac{\pi^2 E}{(KL/r)^2}$

F_e: 탄성좌굴응력(MPa), r: 좌굴축 회전반경(mm)이다. 세장비 KL/r 이 클수록 F_e 는 작아진다. 세장비가 같으면 단면 형상이 달라도 같은 세장비로 비교할 수 있다.

판요소의 국부 좌굴은 판좌굴응력(plate buckling stress)으로 본다.

$\sigma_{cr} = \pi^2 k D \left(\frac{t}{b}\right)^2, \quad D = \frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}$

k: 판좌굴계수, D: 판의 휨강성(N·mm), \nu: 포아송비, b: 판폭(mm), t: 판두께(mm)이다. 판좌굴응력은 폭두께비 b/t 의 제곱에 반비례한다. 그래서 웨브와 플랜지는 폭두께비 제한으로 국부 좌굴을 막는다.

H형강처럼 높이가 크고 폭이 좁은 보는 압축 플랜지가 횡방향으로 좌굴하면서 비틀린다. 이를 횡좌굴이라 하며, 발생하는 휨모멘트를 탄성횡좌굴모멘트 M_{cr} 로 본다.

M_{cr}은 탄성횡좌굴모멘트를 나타낸다.

G: 전단탄성계수, J: 비틀림상수, C_w: 뒤틀림상수, L_b: 비지지 길이(mm)이다. 비지지 길이 L_b 를 줄이면 M_{cr} 이 커진다.

압축부재 강도 검토 절차는 다음과 같다.

• 단면을 조밀·비조밀·세장 단면으로 분류한다.
• 단부 구속 조건에 따라 유효좌굴길이계수 K 를 정한다.
• 좌굴축별 세장비 KL/r 을 구하고 지배 축을 정한다.
• 탄성좌굴응력 F_e 를 계산한다.
• 비탄성 여부를 판단하고 공칭좌굴응력 F_{cr} 을 구한다.
• 공칭강도 P_n = F_{cr}A_g 에 저항계수를 곱해 설계강도를 정한다.
• 판요소 폭두께비를 검토하고 필요하면 유효단면을 쓴다.

전체 좌굴은 KL/r, 국부 좌굴은 b/t 로 나누어 검토한다

5. 관련 법령·기준·표준

강구조 압축재·휨재의 좌굴 설계는 국내에서 KDS 14 31 10 강구조 부재 설계기준(하중저항계수설계법)과 KDS 24 14 31 강교 설계기준(한계상태설계법)을 따른다. 두 기준은 강재 교량과 건축 강구조 부재에 각각 적용된다. 조항 번호는 확인되지 않아 여기서는 기준 이름만 쓴다.

이 절에서 확인된 개정 내용은 없다.

표의 값 중 K 는 좌굴 일반 이론에서 나온 값이며, 실제 설계에서는 부재의 구속 상황에 맞추어 선택한다. 양단 고정은 K 를 작게 하여 강도를 높이므로 연결부 강성이 설계에 반영되는지 확인해야 한다.

비탄성 경계 \lambda_c 는 세장비와 항복강도 F_y 로 정해진다. F_y: 강재 항복강도(MPa)이다. 설계식은 비탄성 영역과 탄성 영역에서 서로 다른 식을 쓴다. 경계를 판정한 뒤 식을 바꾸는 것이 답안의 핵심 순서다.

유럽의 Eurocode 3 는 좌굴곡선(buckling curve) 개념으로 단면별 감소계수를 정한다. 국내 설계식과 형식이 달라 직접 대입하지 않는다. 다만 고온 응력-변형 관계식은 EC3 Part 1.2 를 근거로 쓰는 연구가 있으므로 두 기준을 구분해 쓴다.