비선형 트러스 하중-처짐

왜 배우는가: 비선형 트러스 하중-처짐 해석은 부재가 많이 변형되거나 항복한 뒤의 실제 내력을 구하는 데 쓰인다. 미소변형 가정으로 얻은 선형 해석은 최대 내력을 크게 다르게 평가할 수 있어 설계 검토의 기준이 된다. 기술사 시험에서는 P-δ 관계 작성과 최대 내력 산정 문제로 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제102회 4교시 6번, 제68회 4교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 비선형 트러스 하중-처짐은 변형이 커지거나 재료가 항복할 때 하중과 절점 처짐의 관계를 구하는 것이다.

핵심 키워드

• 비선형 해석
• 기하학적 비선형
• 재료 비선형
• 탄소성 거동
• 항복강도
• 접선 강성
• 최대 내력

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면 다음과 같다. 트러스 부재는 핀으로 이어진 직선 부재라서 축력만 받는다. 처짐이 작으면 힘과 변형이 정비례하므로 하중-처짐 곡선은 직선이다. 하중이 커지면 이 직선이 꺾인다.

정식 정의는 다음과 같다. 비선형 트러스 하중-처짐 해석은 외력 P와 지정 절점의 연직변위 δ 사이의 관계를, 변형된 형상에서 세운 평형식으로 구하는 것이다. 이 관계는 곡선이 되고, 곡선 위 각 점의 기울기가 그 상태의 강성이다.

핵심 용어는 다음과 같다. 기하학적 비선형은 처짐이 커져서 부재의 방향과 길이가 바뀌어 평형식을 변형 위치에서 세워야 하는 효과다. 재료 비선형은 응력이 비례한계를 넘어 응력-변형률 곡선이 직선이 아닌 상태다. 탄소성 거동은 항복 전에는 탄성이고, 완전소성 가정에서는 항복 후 응력이 일정하다. 이는 개략 해석용이며 실제 곡선의 기울기는 재료 시험값에 따른다. 접선 강성은 현재 상태에서 하중 증분과 처짐 증분의 비다.

계산 감각을 잡기 위해 문항 값을 대입한다. 주어진 값은 항복강도 4,000kg/㎠와 탄성계수 2,000,000kg/㎠다. 항복변형률은 다음과 같다.

$\varepsilon_y=\frac{\sigma_y}{E}=\frac{4{,}000}{2{,}000{,}000}=0.002$

여기서 ε_y 는 항복변형률, σ_y 는 항복응력(kg/㎠), E 는 탄성계수(kg/㎠)다. 항복변형률 0.002 는 0.2% 변형에서 부재가 항복한다는 뜻이다. 단면적 10㎠ 부재의 항복력은 N_y = σ_y·A = 4,000×10 = 40,000kg 이고, 20㎠ 부재는 80,000kg 이다. 결과는 부재 강도 규모로 보아 상식 범위다. SI 단위로 환산하면 1kg/㎠ = 0.0980665MPa 이므로 약 392MPa와 약 196GPa가 된다.

3. 등장 배경과 필요성

기초 트러스 해석은 미소변형 가정에 기반한다. 이 가정에서는 하중으로 인한 변형이 매우 작아서 무시하고, 평형식은 초기 형상에서 세운다. 그러면 부재력은 하중에 비례한다. 이 가정은 간단하고 계산이 빠르지만, 모든 경우에 성립하지는 않는다.

미소변형 가정이 깨지는 대표 경우는 얕은 트러스, 큰 처짐이 나는 구조, 가느다란 부재를 쓴 구조다. 이때 얕은 트러스나 큰 처짐에서는 미소변형 가정이 성립하지 않는다. 부재 방향이 바뀌면서 부재력의 연직 성분이 달라지고, 강성이 하중에 따라 변한다. 이를 기하학적 비선형이라고 부른다.

재료 측면에서는 강재의 항복이 중요하다. 항복점 이하에서는 탄성이고 하중을 제거하면 원래 모양으로 돌아간다. 항복점을 넘으면 일부 변형이 영구 소성 변형으로 남는다. 완전소성 가정에서는 항복 후 응력이 일정하게 유지되면서 변형만 늘어나는 구간이 생기며, 실제 곡선의 기울기는 재료 시험값에 따른다. 선형 해석으로 구한 힘은 이 상태를 반영하지 못한다.

설계에서는 최대 내력 Pmax 와 붕괴 과정을 알아야 한다. 부재가 하나씩 항복하면 그 부재의 강성이 떨어지고 힘은 남은 부재로 재분배된다. 마지막으로 충분한 부재가 항복하면 구조가 붕괴한다. 연속보에서 소성힌지가 생기면 모멘트가 다른 단면으로 재분배되는 원리와 같은 틀이다. 트러스에서는 항복 이후 재분배가 같은 역할을 한다.

이 세 가지 요소가 함께 작용하므로, 시험에서는 P-δ 관계 작성과 Pmax 산정을 묻는다. 두 요구는 같은 해석 흐름에서 나온다. 따라서 선형 해석의 한계를 먼저 이해해야 한다.

4. 구성요소·원리·절차

비선형 트러스 해석의 구성요소는 절점, 부재, 하중, 지점 네 가지다. 선형 해석과 달리 각 요소의 값이 변형에 따라 바뀌므로 해석 절차도 증분으로 진행한다.

표의 네 요소는 모두 절점과 부재의 관계로 묶인다. 부재는 축력만 받으므로 해석의 핵심은 부재 축력을 정확히 구하는 것이다.

비선형 거동은 두 원인에서 나온다. 하나는 기하학적 비선형이다. 처짐이 커지면 부재의 방향이 바뀌어 힘의 방향도 함께 바뀐다. 다른 하나는 재료 비선형이다. 부재 응력이 항복점에 이르면 응력-변형률 곡선이 평탄해져 강성이 떨어진다.

탄성 구간에서 부재력은 N = EA\varepsilon 이다. 여기서 N은 부재 축력(N), E는 탄성계수(MPa), A는 단면적(mm²), ε는 변형률이다. 항복 뒤 완전소성 가정에서는 |N| = \sigma_y A 로 상한이 생긴다. 여기서 \sigma_y는 항복강도(MPa)다.

부재 축력은 응력에 단면적을 곱한 값이며 항복 뒤에는 σ_y·A 를 넘지 못한다

증분 해석의 평형식은 다음과 같다.

$\mathbf{K}_T\,\Delta\mathbf{u}=\Delta\mathbf{P}-\mathbf{R}(\mathbf{u})$

여기서 \mathbf{K}_T는 접선강성행렬, \Delta\mathbf{u}는 변위 증분, \Delta\mathbf{P}는 하중 증분, \mathbf{R}은 현재 부재력이 절점에 나타나는 내력 벡터다. 부재 하나의 접선강성은 다음과 같다.

$k_t=\frac{E_t A}{L}$

여기서 E_t는 접선계수(MPa), L은 부재 길이(mm)다. 탄성 구간에서는 E_t=E이며, 완전소성 가정에서는 항복 뒤 E_t=0으로 둔다. 이는 개략 해석용 가정이며 실제 곡선의 기울기는 재료 시험값에 따른다.

문제의 부재별 항복축력은 다음과 같이 구한다. AB, AD 부재는 N_y = \sigma_y A = 4{,}000 \times 10 = 40{,}000\,\text{kgf}, 즉 40 tf이다. AC 부재는 N_y = 4{,}000 \times 20 = 80{,}000\,\text{kgf}, 즉 80 tf이다. 항복축력이 작은 부재부터 먼저 항복하므로 AB, AD가 먼저 항복한다.

• 절점 좌표, 부재 길이, 방향 코사인을 정한다.
• 하중 P를 여러 단계의 증분 ΔP로 나눈다.
• 현재 변위로 부재 길이 변화와 변형률을 구한다.
• 재료 법칙으로 부재력을 구하고 항복 여부를 판정한다.
• 변형 후 위치에서 절점 평형의 불평형력(잔차)을 구한다.
• \mathbf{K}_T로 변위 증분을 구하고 잔차가 허용치 이하가 될 때까지 반복한다.
• 하중-처짐 곡선을 그리고 접선강성이 특이해지는 한계점에서 P_max를 찾는다.

한계점에서는 \mathbf{K}_T가 특이해지고 하중은 더 늘지 않는다. 이때의 하중이 최대 내력 P_max다. 하중-처짐 곡선은 초기 직선 구간, 항복에 따라 기울기가 줄어드는 구간, 최고점 뒤 하강 구간의 세 부분으로 나뉜다.

5. 관련 법령·기준·표준

비선형 트러스 해석은 재료 비선형과 기하학적 비선형을 함께 다룬다. 설계에 쓰려면 해당 설계기준이 허용하는 해석법인지 확인해야 한다. 기준의 세부 조항 번호는 이 절에서 쓰지 않는다. 기하학적 비선형의 대표 사례는 P-Δ효과 절을 참고한다.

문제 조건은 kgf 단위다. 현행 기준은 SI 단위를 쓰므로 다음과 같이 환산한다. 1 kgf/cm² = 0.0980665 MPa 이다. 따라서 4,000 kgf/cm² = 392.3 MPa, 2,000,000 kgf/cm² = 196,133 MPa 이다.

표의 항복축력은 40 tf × 9.80665 = 392.3 kN 으로 검산된다. 80 tf는 784.5 kN이다. 두 수치 모두 단면적과 항복강도의 곱으로만 정해진다.