박스단면 비틀림

왜 배우는가: 박스단면 비틀림은 편심 하중을 받는 교량 상부구조와 라멘 부재 설계의 기본이다. 편심에 의한 비틀림모멘트를 구하고 폐단면의 전단응력을 계산하는 문제로 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제89회 1교시 6번, 제65회 3교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

박스단면 비틀림은 폐단면 상자형 부재가 비틀림모멘트를 받을 때 벽을 따라 도는 폐합 전단흐름으로 저항하는 거동이다.

핵심 키워드

• 폐단면
• 벽두께
• 폐합 전단흐름
• 비틀림상수
• 순수비틀림
• 뒤틀림
• 편심하중
• 브레트 공식

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 상자는 속이 빈 통이다. 이 통을 비틀면 벽 전체가 한 방향으로 도는 흐름이 생긴다. 얇은 벽을 한 바퀴 도는 전단력이 바깥의 비틀림모멘트와 균형을 이룬다.

정식으로 정의하면, 폐단면 부재에 비틀림모멘트 T가 작용할 때 벽을 따라 단위길이당 전단흐름 q가 생기고, 이 흐름의 합이 T와 평형을 이룬다. 이 거동을 순수비틀림이라 한다. 순수비틀림은 단면 전체가 일정한 각변위를 일으키는 비틀림이며, 생브낭(Saint-Venant) 비틀림이라고도 한다. 강구조 부재에서는 뒤틀림이 함께 나타날 수 있다. 그러나 폐단면은 뒤틀림 강성이 작아 순수비틀림이 지배적이다.

폐단면은 벽 중심선이 한 바퀴 닫힌 단면을 뜻한다. 벽두께 t가 작을수록 전단흐름은 벽 두께 안에서 거의 균일하게 분포한다. 이때 전단응력은 흐름을 두께로 나눈 값이 된다. 전단흐름은 브레트 공식으로 나타내며, 전단응력은 전단흐름을 벽두께로 나눈다.

$q = \frac{T}{2A_m}$

기호는 다음과 같다. T는 비틀림모멘트(N·mm), A_m은 벽 중심선이 둘러싼 면적(mm²), t는 벽두께(mm), τ는 전단응력(MPa), q는 단위길이당 전단흐름(N/mm)이다.

비틀림각은 다음 식으로 구한다. 여기서 J는 비틀림상수이며, 폐단면에서는 얇은 벽 근사로 구한다.

$\theta = \frac{T L}{G J}$

θ는 비틀림각(rad), G는 전단탄성계수(N/mm²), L은 부재 길이(mm), ds는 중심선의 미소길이다. 얇은 벽 근사는 벽두께가 단면 치수에 비해 충분히 작을 때만 성립한다. 조건은 벽두께가 단면 치수에 비해 충분히 작을 때로 본다.

3. 등장 배경과 필요성

구조물에 비틀림이 생기는 이유는 여러 가지다. 가장 흔한 원인은 하중이 부재 축에서 벗어나 작용하는 편심이다. 곡선 부재나 여러 직선 부재가 한 각도로 꺾여 연결된 부재에서는 축하중이라도 비틀림이 생긴다. 교량에서 한쪽 차로에만 편심 활하중이 재하되는 경우가 대표적이다.

개단면인 I형이나 H형은 벽이 열려 있어 비틀림 강성이 작다. 같은 비틀림모멘트에 대해 큰 각변형이 생긴다. 반면 상자형 단면은 벽이 닫혀 있어 같은 재료량으로 비틀림 강성을 크게 얻을 수 있다. 그래서 장지간 교량과 라멘 부재에 많이 쓰인다.

상자형 단면은 비틀림 강성, 좌굴 저항, 부식 저항 측면에서 장점이 있다. 반면 격점에서 리벳 연결이 어렵다는 제약이 있다. 이 때문에 현장에서는 용접 연결이 많이 쓰이며, 용접부에 작용하는 전단응력을 정확히 구해야 한다.

설계에서 편심에 의한 비틀림모멘트는 T = P·e로 구한다. 예를 들어 편심거리 e가 20cm이고 하중 P가 10tonf이면 T는 2tonf·m이다. 1tonf를 9.8kN으로 환산하면 약 19.6kN·m이다. 이 값을 브레트 공식에 대입해 벽의 전단응력을 구한다.

구조물 전체의 비틀림은 평형비틀림과 적합비틀림으로 나뉜다. 평형비틀림은 힘의 평형을 위해 반드시 필요한 비틀림이다. 적합비틀림은 인접 부재와의 변형 적합 때문에 생기며, 균열 후 강성 저하로 힘이 재분배된다. 박스단면의 설계에서는 이 구분을 먼저 해야 응력 계산의 기준 비틀림모멘트가 정해진다.

따라서 박스단면 비틀림은 편심 하중의 크기, 폐단면의 형상, 벽두께를 함께 보고 해석해야 하는 기본 개념이다.

4. 구성요소·원리·절차

박스단면은 벽판이 둘러싸는 폐단면(closed section) 이다. 비틀림모멘트는 벽 둘레를 따라 도는 전단흐름(shear flow) 으로 저항한다. 단면이 닫혀 있어 전단흐름이 폐단면을 따라 연속하는 거동을 한다. 이 때문에 같은 재료의 개단면보다 비틀림 강성이 크다.

네 요소는 하나의 폐곡선을 이룬다. 비틀림 저항은 폐곡선이 둘러싸는 면적과 벽두께로 정해진다. 면적이 클수록, 벽이 두꺼울수록 유리하다.

비틀림모멘트는 편심하중에서 생긴다. 하중 P가 단면 중심에서 e만큼 떨어져 작용하면 T = P·e이다. 예를 들어 P = 10tonf, e = 20cm = 0.2m이면 T = 2tonf·m이다. SI로 환산하면 P ≈ 98.1kN, T ≈ 19.6kN·m이다(1tonf = 9.80665kN).

폐단면의 전단흐름은 Bredt 식으로 구하며, 전단응력은 전단흐름을 벽두께로 나눈다.

$q = \frac{T}{2A_m}$

여기서 q는 전단흐름(kN/m), A_m은 벽 중심선이 둘러싸는 면적(m²), t는 해당 벽의 두께(m), τ는 전단응력(kPa 또는 MPa)이다. 벽두께가 다르면 가장 얇은 벽에서 τ가 가장 크게 나온다.

폐단면의 전단응력은 전단흐름과 벽두께를 고려해 구한다.

비틀림각은 다음과 같다.

$\phi' = \frac{T}{GJ}$

여기서 φ'은 단위길이당 비틀림각(rad/m), G는 전단탄성계수(MPa), J는 폐단면 비틀림상수(m⁴), ∮ds/t는 벽 중심선 길이를 벽두께로 나눈 값의 합이다. 개단면의 J는 벽 두께의 3제곱에 비례해 폐단면보다 훨씬 작다.

폐단면은 뒤틀림(warping) 응력이 작아 순수비틀림 해석을 쓰는 것이 일반적이다. 격벽(다이어프램)이 없는 긴 상자형 거더나 단면 모양이 열린 부분을 가지면 뒤틀림 효과를 따로 검토한다.

해석 절차는 다음과 같다.

• 편심 하중으로 비틀림모멘트 T = P·e를 구한다. 지점에서 떨어진 위치의 T는 구조해석으로 정한다.
• 벽 중심선으로 A_m과 ∮ds/t를 계산한다.
• q = T/(2A_m)로 전단흐름을 구한다.
• 벽별로 τ = q/t를 구해 최대값을 찾는다.
• 검토 위치(예: A점에서 2.5m 지점)의 T를 대입해 응력을 갱신한다.
• 허용값과 비교하고 휨·전단 응력과 중첩해 검토한다.

5. 관련 법령·기준·표준

상자형 단면의 비틀림 검토는 재료역학의 폐단면 비틀림 이론이 기본이다. 실무에서는 적용되는 설계기준에 따라 이 이론을 적용한다. 본 절은 기준 이름과 계산식을 정리하며, 조항 번호는 확인되지 않은 것을 쓰지 않는다.

표의 값은 계산에 쓰는 기준이다. 전단탄성계수는 강종과 재료 시험에 따라 달라지므로 설계 시 재료 규격을 따른다. 전단응력의 허용값은 설계기준의 재료별 허용응력 규정을 따른다.

교량 상자형 거더는 적용되는 설계기준에 따라 비틀림을 검토한다. 건축 강구조 부재는 강구조 설계기준의 비틀림 및 뒤틀림 검토 규정을 따른다. 두 기준 모두 폐단면 비틀림과 뒤틀림을 함께 검토하도록 한다.

본 절에서 인용한 기준의 최근 개정 내용은 근거가 없으므로 쓰지 않는다. 설계에 적용할 때는 현행 고시본을 확인한다.

6. 유형과 비교

박스단면 비틀림을 해석할 때는 단면의 폐쇄 정도와 하중의 작용 방식에 따라 해석식이 달라진다. 먼저 단면 형태별 비틀림 거동을 비교하고, 다음으로 등분포하중과 편심하중이 만드는 비틀림모멘트의 발생 형태를 비교한다.