모멘트분배법

왜 배우는가: 모멘트 분배법은 부정정 보와 라멘의 부재단 모멘트를 손으로 구하는 대표 해법이며, 처짐각법과 강성 개념을 이해하는 기초가 된다. 실무에서는 전산 해석 결과를 개략적으로 검증하는 데 쓰인다. 시험에서는 3교시 부정정 보·라멘 문제로 여러 회차에 걸쳐 반복 출제되었다.

출제 이력: 제103회 3교시 5번, 제93회 4교시 4번, 제65회 3교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄: 모멘트 분배법은 고정단 모멘트에서 출발해 불균형 모멘트를 분배·전달하며 반복하여 부정정 구조의 부재단 모멘트를 구하는 근사 해법이다.

핵심 키워드

• 고정단 모멘트
• 불균형 모멘트
• 분배율
• 전달률
• 상대 휨강성
• 강비
• 절점

이 가운데 고정단 모멘트, 분배율, 전달률은 계산 순서를 이루는 세 축이므로 답안에서 반드시 정의를 쓴다. 나머지 용어는 설명 과정에서 함께 쓰면 된다. 답안의 첫 줄은 정의 문장으로 시작하고, 그다음 계산 순서를 한 문장으로 덧붙인다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 모든 절점을 일단 회전하지 못하게 잡아 두고 하중만 가했을 때 각 부재 끝에 생기는 모멘트부터 계산한다. 그다음 절점을 풀어 주면서 남은 모멘트를 연결된 부재에 나누고, 나눈 값의 일부를 반대쪽 끝으로 넘긴다. 이 과정을 값이 거의 변하지 않을 때까지 되풀이한다.

정식 정의는 다음과 같다. 모멘트 분배법은 부정정 연속보나 골조에서 절점 회전을 구속한 상태의 고정단 모멘트를 초기값으로 두고, 절점에 남는 불균형 모멘트를 분배율에 따라 각 부재단에 나누고 전달률로 인접 부재에 넘기는 계산을 반복하여 절점 모멘트를 구하는 방법이다. 1930년 Hardy Cross가 발표하였다. 이 방법은 처짐각법에서 발전한 것이지만, 미지수를 절점 회전각이 아니라 부재단 모멘트로 잡는다는 점이 다르다. 연립방정식을 직접 풀지 않고 Gauss-Seidel 방식의 반복 계산으로 근사해를 구하므로, 손계산에 편리하다.

핵심 용어는 다음과 같이 풀이한다.

• 고정단 모멘트: 모든 절점을 회전 불가로 잡았을 때 하중 때문에 부재 양 끝에 생기는 모멘트다. 해석의 출발값이다.
• 불균형 모멘트: 한 절점에 모인 부재단 모멘트의 합이다. 0이 아니면 절점이 회전하려 하므로 분배 대상이 된다.
• 상대 휨강성: 부재의 EI/L 값이다. E는 탄성계수, I는 단면 2차 모멘트, L은 부재 길이다.
• 강비: 절점에 모인 부재들의 상대 휨강성 비다. 분배율 계산의 기초이며 문제의 괄호 값으로 주어지기도 한다.
• 분배율: 한 절점에서 각 부재가 불균형 모멘트를 나눠 갖는 비율이다. 부재 강성에 비례하고, 한 절점의 분배율 합은 1이다.
• 전달률: 한 부재의 한쪽 끝에 회전을 주었을 때 반대쪽 고정단에 생기는 모멘트의 비다.

강성은 반대 끝 조건에 따라 달라진다. 부재 강성은 반대 끝의 지점 조건에 따라 결정된다. 분배율은 DF_{ij}=k_{ij}/\sum k로 구한다. 등단면 보의 전달률은 반대 끝의 지점 조건에 따라 결정된다. 부호 기준(시계 방향 또는 반시계 방향 양)은 한 문제 안에서 통일해야 한다.

분배율의 합은 절점마다 1이어야 한다.