트러스 변형일치해석

왜 배우는가: 트러스 변형일치해석은 부재 수가 많아 평형 방정식만으로 부재력을 구할 수 없는 부정정 트러스를 푸는 기본 방법이다. 실무에서 여분 부재가 있는 교량·지붕 트러스의 응력을 검토할 때 쓰이며, 시험에서는 여분 부재를 부정정력으로 택해 적합조건식을 세우는 문제로 3교시에 반복해 나온다.

출제 이력: 제108회 3교시 4번, 제94회 3교시 4번, 제90회 2교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 트러스 변형일치해석은 여분 부재의 부재력을 부정정력으로 택하고, 변형의 적합조건으로 그 값을 구하는 해석법이다.

핵심 키워드

• 변형일치법(Compatibility Method)
• 부정정 차수(Degree of Indeterminacy)
• 부정정력(Redundant Force)
• 적합조건식(Compatibility Equation)
• 단위하중법(Unit Load Method)
• 기본구조(Primary Structure)
• 부재 신축량(Member Elongation)
• 중첩의 원리(Principle of Superposition)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 식이 모자랄 때 모자란 만큼의 미지수를 정하고 그 미지수가 변형 조건을 만족하도록 맞추는 방법이다. 트러스는 부재마다 축력만 받는 막대이므로 부재 신축량과 부재력의 관계를 이용한다.

정식 정의는 다음과 같다. 평면 트러스에서 부재 수를 m, 지점 반력 수를 r, 절점 수를 j라 하면 평형 조건으로 정할 수 있는 식의 수는 2j이고, 미지수는 m+r이다. 따라서 부정정 차수는 n = (m + r) - 2j이다. 이 값이 0이면 정정, 0보다 크면 부정정, 0보다 작으면 불안정이다. 이 관계는 한국어 위키백과와 동일하다.

핵심 용어는 다음과 같다.

부정정력은 평형식만으로 정하지 못하는 여분 미지수다. 부정정 차수 n만큼 선택한다. 여분 부재를 자르거나 지점을 제거해 그 자리에 부정정력을 넣는다.

기본구조는 부정정력을 제거해 정정이 된 구조다. 여기에 외부 하중이 작용할 때의 부재력을 먼저 구한다.

적합조건식은 실제 구조에서 부재 변형과 지점 변위가 연속이라는 조건이다. 부정정력을 포함한 신축량의 합이 0이 되도록 세운다. 트러스에서는 \sum \frac{F_i\, \Delta_i}{E_i A_i} 형태로 쓴다.

3. 등장 배경과 필요성

정역학만으로는 부정정 트러스를 풀 수 없다. 19세기 말 구조 설계에서 여분 부재를 가진 트러스가 많아지면서, 힘의 평형 대신 변형의 연속성을 쓰는 방법이 필요해졌다. 변형일치법은 이때 체계화된 응력법(힘법)의 한 형태로 볼 수 있다.

이 방법은 중첩의 원리를 쓴다. 기본구조에 외력이 작용한 경우와 단위 부정정력이 작용한 경우를 따로 풀고, 두 결과를 더해 적합조건을 만족시킨다. 외력 계산과 단위하중 계산이 분리되므로 계산 순서가 명확하다.