강체기초 진동모드

왜 배우는가: 강체기초 진동모드는 기계기초·왕복동 기계 기초의 동적 설계에서 기초 자체의 흔들림 형태를 미리 파악하기 위해 필요하다. 병진과 회전 모드의 고유진동수가 기계의 가진 진동수와 겹치면 공진이 생기므로 시험에서 반복해 출제된다.

출제 이력: 제103회 4교시 5번, 제100회 1교시 9번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 강체기초 진동모드는 기초를 강체로 보고 기초의 여섯 가지 독립 운동(병진 3개, 회전 3개)을 나눠 각 모드의 고유진동수와 응답을 구하는 해석 단위이다.

핵심 키워드

• 강체기초(Rigid Foundation)
• 진동모드(Vibration Mode)
• 자유도(Degree of Freedom)
• Rocking 모드
• 회전스프링 강성(Rotational Spring Stiffness)
• 고유진동수(Natural Frequency)
• 도심(Centroid)
• 공진(Resonance)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 기초 덩어리가 땅 위에서 어떤 방향으로 흔들리는지를 나눠 보는 것이다. 기계가 흔들면 기초도 함께 움직이므로, 그 움직임의 종류마다 얼마나 쉽게 흔들리는지를 따로 본다.

정식 정의는 다음과 같다. 강체기초는 변형이 없는 강체로 가정하고, 지반은 스프링과 댐퍼로 모델링한다. 기초 저면의 도심을 기준으로 병진(Translation) 세 방향(수평 2개, 연직 1개)과 회전(Rotation) 세 방향(회전 2개, 비틀림 1개)을 합해 여섯 개의 모드를 정의한다.

• Sliding(수평 병진): 수평 방향 병진 운동이다.
• Bouncing(연직 병진): 연직 방향 병진 운동이다.
• Rocking(회전): 수평축 둘레의 회전 운동이다.
• Torsion(비틀림): 연직축 둘레의 회전 운동이다.

고유진동수는 질량과 강성의 비로 정해진다. 강성은 지반 스프링과 회전스프링 강성이 함께 작용한다. 질량관성모멘트가 크면 회전 모드의 고유진동수는 낮아진다.

3. 등장 배경과 필요성

왕복동 기계는 주기적인 불평형 힘을 발생시킨다. 이 힘이 기초에 전달되면 기초가 진동하고, 진동이 과도하면 기계의 정렬 불량과 기초 균열이 생긴다. 따라서 기초의 고유진동수를 기계 가진 진동수와 떨어뜨려 공진을 피해야 한다.

기초를 단순한 정적 하중으로만 검토하면 이런 동적 문제가 드러나지 않는다. 그래서 기계기초 설계에서는 모드별 동적 해석이 필요해졌다. 기계기초 설계는 진동 허용치와 기초 질량 설계가 함께 검토되는 분야다.

진동 해석의 기본식은 질량, 감쇠, 강성 행렬로 쓴다. 비감쇠 자유진동의 고유진동수는 다음과 같다.

$\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$

여기서 \omega_n은 고유각진동수(rad/s), k는 강성(N/m 또는 N·m/rad), m은 질량(kg) 또는 질량관성모멘트(kg·m²)이다. 회전 모드에서는 회전 강성과 질량관성모멘트의 관계를 사용한다.

기초 저면의 도심을 지나는 축에 대해 회전 모드를 볼 때는 평행축 정리를 함께 쓴다. 기준점과 질량중심이 다르면 관성모멘트 값이 달라지기 때문이다.

4. 구성요소·원리·절차

강체기초의 동적 거동은 기초 저면의 도심 O를 기준으로 여섯 개의 자유도로 나눠 본다. 세 개는 병진, 세 개는 회전이다. 각 모드는 기초 질량과 지반 스프링 강성으로 정해지는 고유진동수를 가진다.

표의 여섯 모드는 독립으로 풀리는 경우와 연성되는 경우가 있다. 기초 중심 C와 저면 중심 O가 다르면 병진과 회전이 연결된다. 로킹 모드의 고유진동수는 다음 식으로 구한다.

로킹 모드의 고유진동수는 회전 스프링 강성과 질량관성모멘트의 관계로 산정한다.

여기서 ω_n은 고유원진동수(rad/s), K_θ는 기준점 O의 회전 스프링 강성(N·m/rad), I_O는 O 둘레의 질량관성모멘트(kg·m²), f_n은 고유진동수(Hz)다. 질량관성모멘트는 기초 중심 C 둘레 값 I_C에서 평행축 정리로 옮긴다.

질량관성모멘트는 기준점과 질량중심 사이의 거리를 고려해 평행축 정리로 옮긴다.

여기서 d는 C와 O 사이 거리(m)다. 기준점을 바꾸면 I 값이 달라지므로 스프링 강성과 같은 기준점을 써야 한다. 모드별 식의 기호와 단위를 답안에서 함께 적는다.

절차는 다음과 같다.

• 기초 체적과 콘크리트 단위중량으로 질량 m과 기초 중심 C를 구한다.
• 기준점 O 기준 질량관성모멘트 I_O를 평행축 정리로 계산한다.
• 지반 탄성계수로 연직, 수평, 회전 스프링 K를 산정한다(반무한 탄성체 가정).
• 모드별 고유진동수 f_n을 계산한다.
• 기계의 가진 주파수와 비교해 공진을 피한다.
• 모드별 진폭을 구해 허용 진폭과 비교한다.

순서 5에서 가진 주파수와 고유진동수가 가까우면 기초 크기나 지반 강성을 바꿔 다시 계산한다. 이 되먹임 과정이 실무 설계의 핵심이다. 도식으로 흐름을 정리하면 답안지에 옮기기 쉽다.

5. 관련 법령·기준·표준

기계기초의 진동 해석을 직접 규정한 법령 조문은 확인된 것이 없다. 실무에서는 건설 설계기준의 기계기초 관련 장과 장비 제작사의 허용값을 함께 쓴다.

표의 값 중 이격 비율은 실무 관행이다. 설계 계산에서는 지반 스프링을 탄성계수 시험값으로 보정하는 과정이 필요하며, 이는 감쇠비와 함께 다룬다.

강체 블록의 모드 수는 한 기준점에서 세 병진과 세 회전으로 여섯 개가 된다. 이 개수는 답안에서 그대로 쓴다.

6. 유형과 비교

강체기초의 진동모드는 기초 저면의 도심 또는 기초 전체 중심을 기준으로 6개 자유도(수평 이동, 수직 이동, 회전 방향 모드)로 나뉜다. 기초 질량과 지반 스프링·감쇠의 조합에 따라 각 모드의 고유진동수와 지배 모드가 달라지므로, 모드별 특성을 표로 먼저 구분해야 한다.