회전기계 진동응답

왜 배우는가: 회전기계(펌프·발전기·압축기)는 설치 후 진동 문제로 가동이 중단되는 사례가 많다. 구조기술사는 기계 기초와 지지 구조물이 가진력에 어떻게 응답하는지, 공진을 어떻게 피할지 판단해야 한다. 시험에서는 편심 질량 계산, 진폭과 위상, 공진 회피 조건을 묻는 문제가 반복해서 나온다.

출제 이력: 제116회 4교시 4번, 제92회 2교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

회전기계 진동응답은 편심 질량이 만든 주기 가진력에 대한 구조물의 정상상태 응답이다.

• 회전 불평형(rotating unbalance): 회전체의 질량 중심이 회전축에서 어긋난 상태.
• 편심질량(eccentric mass): 불평형을 만드는 질량 m과 편심거리 e의 곱.
• 주기 가진력(harmonic excitation): 회전수에 비례해 크기가 변하는 외력.
• 정상상태 응답(steady-state response): 과도응답이 소멸한 뒤 가진 주파수로 진동하는 응답.
• 진동수비(frequency ratio): 가진 각진동수와 고유진동수의 비 r.
• 진폭비(amplitude ratio): 정적변위에 대한 정상상태 진폭의 배율.
• 공진(resonance): r이 1 근처에서 진폭이 급격히 커지는 현상.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 세탁기 탈수 때 흔들리는 것이 회전기계 진동이다. 옷이 한쪽에 몰려 있으면 드럼 중심이 어긋나 회전마다 밀어내는 힘이 생긴다. 이 힘이 구조물을 같은 주기로 흔드는 것이 회전기계 진동응답이다.

정식 정의는 다음과 같다. 회전 불평형은 질량 m의 편심 e를 가진 회전체가 각속도 ω로 돌 때, 원심력 m e ω²가 주기 가진력으로 지지 구조에 전달되는 현상이다. 이때 구조물의 응답은 가진 주파수로 진동하는 정상상태 응답으로 나타난다.

핵심 원리는 두 가지다. 첫째, 가진력 크기는 회전수의 제곱에 비례한다. 둘째, 응답은 진동수비 r = ω/ωn에 따라 달라진다. 감쇠가 없는 경우 정상상태 진폭은 X = (m e / M) r² / (1 − r²)로 쓴다. 여기서 M은 시스템 질량, ωn은 고유각진동수다. r이 1에 가까우면 분모가 0에 가까워져 진폭이 커진다. 감쇠비 ζ를 넣으면 X = (m e / M) r² / √((1 − r²)² + (2ζr)²)가 된다. r이 1보다 충분히 작으면 진폭은 편심 비율에 가까운 값이고, r이 1보다 충분히 크면 진폭은 줄어든다.

공진 영향이 상대적으로 작은 진동수비 범위는 감쇠비와 구조 형식에 따라 달라진다. 따라서 답안에는 적용값을 확인하는 절차를 함께 쓴다.

핵심 용어는 가진 진동수, 고유진동수, 감쇠비 세 가지다. 셋의 관계를 알면 공진 여부와 진폭을 함께 판단할 수 있다.

3. 등장 배경과 필요성

산업 기계는 고속화되면서 회전수가 높아졌다. 회전수가 높아지면 가진력은 ω²에 비례해 급격히 커진다. 같은 불평형이라도 회전수가 두 배가 되면 가진력은 네 배가 된다. 이 때문에 고속 회전기기 설계에서는 불평형 관리와 동적 응답 검토가 필수가 되었다.

구조기술사 관점에서 회전기계 기초는 구조물과 직접 연결된다. 펌프나 발전기의 받침 구조, 플랫폼, 건물 상부에 설치된 기계가 대표적이다. 기초가 정적 하중만 보고 설계되면 진동이 설비 기능을 떨어뜨리거나 피로 손상을 일으킬 수 있다. 따라서 가진 진동수와 구조물 고유진동수를 비교해 공진을 피하는 설계가 필요하다.

또 설계 단계의 불평형은 제작과 설치 단계에서 줄일 수 있다. 회전체의 균형 잡기(balancing)는 질량 분포를 조정해 편심을 줄이는 작업이다. 구조해석은 이 결과를 입력값으로 받아 응답을 평가한다. 두 영역을 함께 이해해야 현장 문제를 해결할 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

회전기계 진동응답은 편심질량이 만드는 원심력이 구조물을 가진하는 문제다. 구성요소는 다음과 같다.

편심질량이 각속도 Ω로 회전하면 원심력의 크기는 m e Ω²이다. 이 힘의 수직 성분은 m e Ω² sin Ωt로 나타나며 구조물을 주기적으로 가진한다. 가진력 진폭은 회전 속도의 제곱에 비례한다. 속도가 두 배가 되면 가진력은 네 배가 된다.

비회전 질량의 변위 x에 대한 운동방정식은 다음과 같다.

$M\ddot{x}+c\dot{x}+kx=m e\Omega^2\sin\Omega t$

정상상태 해는 x = X sin(Ωt − φ)이며, 진폭은 다음과 같다.

$X=\frac{m e}{M}\,\frac{r^2}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\quad r=\frac{\Omega}{\omega_n},\quad \omega_n=\sqrt{\frac{k}{M}}$

여기서 r은 진동수비, ω_n은 고유각진동수(rad/s), ζ는 감쇠비, m e는 불균형 모멘트(kg·m), M은 전체 질량(kg)이다. 위상차는 tan φ = 2ζr/(1−r²)로 구한다. 진폭 식은 세 구간으로 나누어 읽는다.

• 저속(r≪1): X가 0에 가깝고 위상차도 작다.
• 공진(r≈1): X가 최대가 된다. 최대 진폭의 근사값은 X ≈ m e/(2ζM)이다.
• 고속(r≫1): X가 m e/M에 수렴하고 위상차는 약 180°가 된다.

가진 진동수가 고유진동수에 가까우면 공진이 생긴다. 따라서 허용 회전속도 구간은 r의 허용 범위를 Ω 범위로 바꾸어 구한다. 검산 예로 m e = 200kg × 0.05m = 10kg·m이다. 고속 구간에서 진폭은 10/M 미터 근처로 일정해지므로 편심량이 주된 변수가 된다.

응답 응력을 구하는 절차는 다음과 같다.

• 회전수 N을 정하고 Ω = 2πN/60(rad/s)로 환산한다.
• 기둥 3개의 횡강성을 구한다. 기둥 높이와 경계조건을 확인해 해당 강성식을 적용하고 합산한다.
• 전체 질량 M(중량 W를 g로 나눔)과 고유각진동수 ω_n을 구한다.
• 가진력 진폭 F₀ = m e Ω²을 계산한다.
• 진폭 X와 위상차 φ를 구하고, 기둥 최대 휨모멘트에서 휨응력 σ = M_max/S를 구한다.
• 허용 휨응력 fa와 비교하고, 만족하는 Ω 범위를 역산해 허용 회전속도 구간을 정한다.

5. 관련 법령·기준·표준

이 개념의 계산에 쓰는 기준값은 문항 조건과 일반 설계 관행에 따른다. 값, 단위, 적용 조건, 근거를 함께 정리하면 다음과 같다.

표의 첫 네 행은 문항에 주어진 값이다. 기둥 설계는 국내 구조설계기준(KDS 계열)과 강구조 설계 규정을 함께 따른다. 답안에는 fa 200MPa와 ζ 5%를 먼저 적고 식을 전개한다.

6. 유형과 비교

회전기계 진동은 가진 형태에 따라 응답 식이 달라진다. 회전 불평형 가진은 편심질량이 만드는 원심력이 속도의 제곱에 비례해 커지므로, 가진력 크기가 회전속도에 따라 변한다. 조화 하중 가진은 진폭이 일정한 힘이 작용한다. 두 경우를 구분해야 정상상태 진폭 식을 맞게 세울 수 있다.