주응력과 균열방향

왜 배우는가: 주응력과 균열방향은 철근콘크리트 보의 균열 위치와 전단보강 설계를 판단하는 기본 개념이다. 실무에서 균열 원인을 진단하고 보강 방향을 정할 때 이 원리를 먼저 쓴다. 시험에서는 RC 보와 PSC 보를 비교하는 문제로 반복해 출제된다.

출제 이력: 제109회 2교시 2번, 제99회 4교시 4번, 제96회 2교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

주응력은 전단응력이 0인 면에 작용하는 수직응력이고, 인장균열은 최대주인장응력의 방향에 수직으로 발생한다.

• 주응력
• 주응력면
• 최대주인장응력
• 모어원(Mohr circle)
• 인장균열
• 사인장균열
• 프리스트레스

2. 개념 풀이

콘크리트 부재 한 점의 응력은 수직응력과 전단응력이 함께 작용하는 평면응력 상태다. 이 상태를 다른 방향에서 보면 전단응력이 사라지는 면이 있다. 그 면에 작용하는 수직응력이 주응력이다. 주응력 중 큰 값이 최대주응력, 작은 값이 최소주응력이다.

콘크리트는 인장에 약하므로 인장 주응력이 파괴계수에 닿으면 그 면에 수직으로 균열이 생긴다. 따라서 균열 방향은 최대 주인장응력의 작용 방향과 수직이다. 이 관계를 한 번 정리해 두면 균열 문제는 모두 주응력 계산으로 풀린다.

평면응력 상태의 주응력은 다음 식으로 구한다. \sigma_x, \sigma_y는 x, y 방향 수직응력(MPa), \tau_{xy}는 전단응력(MPa)이다.

$\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$

주응력면의 방향각 \theta_p는 다음 식으로 구한다. 이 식은 전단응력이 0이 되는 조건에서 나온다.

$\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$

모어원은 이 두 식을 그림으로 나타낸 것이다. 가로축은 수직응력, 세로축은 전단응력이다. 원의 중심은 \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}이고 반지름은 식의 근호 항이다. 원과 가로축이 만나는 두 점이 주응력이며, 전단응력이 0인 점이다. 인장을 양(+)으로 잡으면 오른쪽 점이 최대주인장응력이다.

휨을 받는 보에서는 인장 주응력이 보의 축과 거의 나란하게 작용한다. 그래서 휨균열은 거의 수직으로 생긴다. 전단력이 큰 곳에서는 주인장응력이 경사지게 작용한다. 그 결과 웨브에 경사진 사인장균열이 생긴다. 사인장균열은 보통 축에 대해 약 45도 경사로 생긴다고 설명한다.

PSC 보에서는 축방향 프리스트레스가 압축응력을 더한다. 압축응력은 인장 주응력을 줄이고 주응력면의 기울기를 바꾼다. 따라서 같은 하중에서도 RC 보와 PSC 보의 균열 시작 위치와 방향이 달라진다.

3. 등장 배경과 필요성

콘크리트의 인장강도는 압축강도에 비해 매우 작다. 그래서 설계에서는 인장을 받는 콘크리트가 균열을 일으키는 것을 전제로 철근을 배치한다. 균열이 어디서 어떤 방향으로 생기는지 알아야 철근을 어느 방향에 얼마나 넣을지 정할 수 있다. 이 때문에 주응력 해석이 등장했다.

전단력이 작용하는 보에서는 휨응력만으로는 균열을 설명하기 어렵다. 전단응력과 수직응력이 결합하면 주인장응력이 경사로 작용한다. 이 응력을 설명하기 위해 평면응력 변환식과 모어원이 설계 개념으로 쓰인다. 사인장균열과 전단보강철근의 필요성도 여기서 나온다.

PSC 부재는 긴장재로 콘크리트에 미리 압축을 준다. 이 압축은 사용하중 상태의 인장 주응력을 줄여 균열을 늦춘다. 그러나 축력과 휨이 함께 작용하면 주응력 방향이 달라지므로, 프리스트레스 효과를 주응력 개념으로 따로 검토해야 한다. 이 차이를 이해하는 것이 RC와 PSC 비교 문제의 출발점이다.