기둥 좌굴 허용하중

왜 배우는가: 기둥은 재료 강도에 도달하기 전에 좌굴로 무너지는 경우가 많아, 압축재의 허용하중을 구할 때 좌굴 검토가 빠지면 설계가 위험해진다. 오일러 임계하중과 안전율을 결합한 허용하중 계산은 구조역학 1교시 용어 문제와 3~4교시 해석 문제에 반복해서 나온다. 장주와 단주를 구분해 적용 식을 고르는 능력도 함께 평가된다.

출제 이력: 제123회 1교시 10번, 제115회 3교시 1번, 제89회 2교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 기둥 좌굴 허용하중은 오일러 임계하중을 안전율로 나눈, 장주가 안전하게 받을 수 있는 축압축 하중이다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 좌굴(Buckling): 압축재가 축하중을 받다가 어느 하중에서 횡방향으로 갑자기 휘며 평형을 잃는 현상.
• 임계하중(Critical Load, Pcr): 기둥이 불안정하게 휘기 시작하는 최소 축하중.
• 오일러 공식(Euler Formula): 탄성 범위에서 임계하중을 단면 2차 모멘트, 탄성계수, 유효길이로 구하는 식.
• 유효좌굴길이(Effective Length, KL): 지점 조건을 반영해 환산한 기둥의 길이.
• 세장비(Slenderness Ratio, λ): 유효길이를 최소 회전반경으로 나눈 값으로, 단주와 장주를 구분하는 척도.
• 안전율(Factor of Safety, FS): 임계하중을 허용하중으로 바꾸는 나눗셈 계수.
• 허용하중(Allowable Load): 임계하중을 안전율로 나눈 설계용 하중.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 가늘고 긴 기둥을 위에서 누르면 재료가 부서지기 전에 옆으로 휘어 무너진다. 이 현상이 좌굴이다. 압축력이 어느 한계에 이르면 하중을 더 늘리지 않아도 횡방향 변형이 급격히 커지고, 하중을 제거해도 원래 모양으로 돌아오지 않는다.

정식으로 정의하면 좌굴은 압축력이 임계값에 도달했을 때 직선 평형 상태가 불안정해져 횡방향 변위가 발생하는 현상이다. 이때의 최소 축하중이 임계하중이다. 임계하중은 재료의 압축강도와 무관하고, 재료의 탄성계수와 단면 형상, 길이에 의해 결정된다.

핵심 식은 오일러 공식이다. 지점 조건이 같은 기둥에서 임계하중은 다음과 같다.

$P_{cr}=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$

여기서 E는 탄성계수(MPa), I는 휨 방향 최소 단면 2차 모멘트(mm4), K는 유효좌굴길이계수, L은 실제 부재 길이(mm)다. KL은 유효길이로, 변곡점 사이 거리에 해당한다.

허용하중은 임계하중을 안전율로 나눈다.

$P_{allow}=\frac{P_{cr}}{FS}$

여기서 FS는 안전율(무차원), P_allow는 허용압축하중(N)이다. 세장비는 $\lambda=\frac{KL}{r}, \quad r=\sqrt{\frac{I}{A}}$ 로 정의하며, r은 최소 회전반경(mm), A는 단면적(mm2)이다. 세장비가 크면 좌굴 지배, 작으면 재료 강도 지배로 본다.

3. 등장 배경과 필요성

압축재의 강도는 처음에는 재료의 압축강도를 단면적으로 나눈 응력으로 검토했다. 그러나 가늘고 긴 기둥은 재료 강도보다 훨씬 낮은 하중에서 휘어 무너지는 사례가 반복되었다. 이 때문에 기둥 설계에는 재료 강도와 좌굴 하중을 함께 보는 체계가 필요해졌다.

오일러는 1757년에 좌굴 미분방정식으로부터 중심 압축을 받는 기둥의 탄성좌굴하중을 구하였다. 이 해석은 기둥이 완전한 직선이고 하중이 도심에 작용하며 재료가 탄성 범위 안에 있다는 가정에 기초한다. 따라서 실제 설계에서는 이 가정이 깨지는 조건을 따로 검토해야 한다.

좌굴 하중이 항상 적용되는 것은 아니다. 임계응력이 재료의 비례한도를 넘으면 기둥은 비탄성 좌굴을 하므로 오일러 식을 그대로 쓸 수 없다. 탄성좌굴과 비탄성좌굴의 경계가 되는 세장비를 한계세장비라 하며, 그 아래 영역에서는 응력-세장비 곡선이 달라진다. 허용하중을 구할 때 먼저 세장비로 장주인지 판단하는 이유가 여기에 있다.