연속보 해석

왜 배우는가: 연속보는 교량 상부구조와 연속 슬래브 보의 기본 골격이므로 실무 설계에서 지점 모멘트와 처짐을 손으로 검토할 수 있어야 한다. 시험에서는 3연 모멘트법이나 처짐각법을 이용한 부정정 해석 문제로 반복해 출제된다.

출제 이력: 제117회 4교시 3번, 제65회 1교시 12번, 제64회 3교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

연속보 해석은 세 개 이상의 지점으로 지지된 보의 지점 반력과 휨모멘트를 평형 조건과 변형 적합 조건으로 구하는 부정정 해석이다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 연속보
• 부정정 구조
• 지점 휨모멘트
• 3연 모멘트법
• 처짐각법
• 변형 적합 조건
• 경간

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 지점이 여러 개 있는 긴 보다. 지점이 셋 이상이면 정적 평형 방정식 세 개만으로 반력을 정할 수 없다. 그래서 이런 구조를 부정정 구조라고 한다.

정식 정의는 다음과 같다. 연속보는 중간 지점을 여러 개 가져서 여러 경간이 하나의 보로 이어진 구조다. 부정정 차수는 미지 반력 수에서 평면 평형 방정식 수 3을 뺀 값이다. 지점이 많을수록 차수가 올라가고 해석이 복잡해진다.

해석의 핵심 조건은 두 가지다. 첫째, 평형 조건으로 각 경간의 전단력과 모멘트 관계를 맞춘다. 둘째, 변형 적합 조건으로 보의 연속성을 맞춘다.

• 지점 휨모멘트: 중간 지점 위의 휨모멘트다. 그 지점을 공유하는 좌우 경간에서 같은 값을 가진다.
• 변형 적합 조건: 지점의 처짐은 0이고 지점 양쪽의 처짐각은 같다. 지점 침하가 있으면 처짐 조건이 0이 아닌 값으로 바뀐다.

중간 지점의 처짐은 0이고, 그 지점 양쪽의 처짐각은 같다.

3연 모멘트 식은 인접한 세 지점의 모멘트를 한 식으로 묶는다. 등 EI 연속보에서 정(+) 모멘트를 양으로 두면 다음 형태로 쓴다.

M_{i-1}L_i + 2M_i(L_i+L_{i+1}) + M_{i+1}L_{i+1} = -(w_iL_i^3 + w_{i+1}L_{i+1}^3)/4

여기서 M_{i-1}, M_i, M_{i+1}은 연속된 세 지점의 휨모멘트(N·m), L_i, L_{i+1}은 경간 길이(m), w_i, w_{i+1}은 각 경간의 등분포 하중(N/m)이다. 우변은 등분포 하중 경우의 하중항이고, 부호 규약은 교재마다 다르므로 답안에는 사용한 기준을 함께 밝힌다.

3. 등장 배경과 필요성

보를 여러 지점에서 받치면 단순보를 이어 붙인 것보다 큰 모멘트가 지점에서 생기는 대신 경간 중앙의 모멘트는 줄어든다. 같은 하중에서 처짐도 작아지고 강성이 커진다. 그래서 교량과 건축 보에서 연속 구조가 널리 쓰인다.

그러나 지점이 늘면 반력과 모멘트를 정하는 방정식 수가 늘어난다. 컴퓨터 구조해석 이전에는 연속보를 손으로 풀 수 있는 방법이 필요했다. 3연 모멘트법과 처짐각법이 이 요구에서 정리되었다. 3연 모멘트법은 지점 모멘트를 직접 구하고, 처짐각법은 절점의 회전각을 미지수로 잡는다.

현재 설계에서는 프로그램으로 해석하지만, 기술사 시험은 해석 원리를 이해했는지 확인한다. 따라서 수계산 절차와 부호 규약, 지점 조건의 처리 방법을 답안에 정확히 쓸 수 있어야 한다. 지점 침하가 있을 때 변형 적합 조건이 어떻게 바뀌는지도 함께 알아 두어야 한다.