박판보 응력

왜 배우는가: 강상형 곡선교처럼 편심하중을 받는 박스거더는 휨 응력만으로 설계하면 뒤틀림과 왜곡에 따른 응력이 빠진다. 같은 주제가 교시와 표현을 바꿔 반복 출제되므로 응력의 종류와 식의 기호를 정확히 익혀야 한다.

출제 이력: 제138회 3교시 1번, 제135회 3교시 1번, 제109회 1교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

박판보 응력은 얇은 벽 단면 보에 작용하는 하중에 따라 휨·전단·비틀림·뒤틀림·왜곡 등으로 나타나는 응력을 뜻한다.

답안 첫 줄에는 위 문장을 쓰고, 이어서 응력의 종류를 휨·전단·비틀림·뒤틀림·왜곡 순으로 나열한다. 핵심 키워드는 다음과 같다.

• 박판보(Thin-walled Beam): 두께가 폭과 높이에 비해 얇은 벽으로 이루어진 보 이론이다.
• 뒤틀림 수직응력(Warping Normal Stress): 단면이 평면을 유지하지 못해 축방향으로 생기는 응력이다.
• 뒤틀림 전단응력(Warping Shear Stress): 뒤틀림 때문에 벽 면을 따라 생기는 전단응력이다.
• 자유 비틀림 전단응력(St. Venant Torsional Shear): 뒤틀림이 자유로울 때 벽에 생기는 전단응력이다.
• 단면 왜곡응력(Distortional Stress): 하중으로 단면 형상이 찌그러지면서 생기는 응력이다.
• 전단지연(Shear Lag): 넓은 플랜지에서 축응력이 고르게 분포하지 않는 현상이다.
• 바이모멘트(Bimoment): 뒤틀림이 구속될 때 생기는 자기평형 모멘트 성분이다.

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 얇은 상자형 보는 비틀리면 단면이 평면을 유지하지 못하고 벽이 휘어진다. 이 휘어짐을 받침이나 격벽이 막으면 벽에 수직응력이 생기고, 이것이 박판보 응력의 핵심이다. 정식으로는 Vlasov 박판보 이론에서 단면의 뒤틀림 함수인 섹터좌표(ω)를 도입해 수직응력과 전단응력을 구하는 방법을 말한다.

상자보의 응력 상태는 하중 작용선과 전단중심의 위치 관계에 따라 달라진다. 단면이 찌그러지는 왜곡도 응력 검토에 포함한다. 뒤틀림이 구속된 경우 바이모멘트 B가 생기며, 이때 뒤틀림 수직응력은 다음 식으로 표현한다.

$\sigma_{w}=\frac{B\,\omega}{I_{\omega}}$

여기서 B는 바이모멘트(N·m²), ω는 섹터좌표(m²), I_ω는 뒤틀림 관성모멘트(m⁶)이다. 뒤틀림 전단응력은 다음과 같이 쓴다.

$\tau_{w}=\frac{T_{\omega}\,S_{\omega}}{I_{\omega}\,t}$

여기서 T_ω는 뒤틀림에 의한 비틀림 모멘트 성분(N·m), S_ω는 섹터 정적모멘트(m⁴), t는 판 두께(m)이다. 자유 비틀림에 의한 전단응력은 폐단면 Bredt 식을 쓴다.

$\tau_{t}=\frac{T}{2A_{m}\,t}$

여기서 T는 비틀림 모멘트(N·m), A_m은 벽 중심선이 둘러싼 면적(m²), t는 벽 두께(m)이다. 세 식의 결과를 합산해 총 응력을 구하는 것이 기본 절차다.

넓은 플랜지에서는 전단지연이 나타난다. 플랜지가 복부에서 멀수록 축방향 변위가 늦게 따라와 응력이 복부 근처에 몰린다. 플랜지 폭이 넓은 경우 이 효과가 커지므로 설계에서는 실제 폭을 줄인 유효폭을 정해 휨응력을 계산한다. 유효폭은 지간, 하중 분포, 단면 성질, 경계조건에 따라 달라진다.

3. 등장 배경과 필요성

강재 상자형 교량은 경간이 길어지고 곡선 선형이나 편심 배치가 늘면서 쓰이는 범위가 넓어졌다. 상자형은 폐단면이라 비틀림에 강하며, 개방형 I형 단면보다 비틀림 저항이 크다는 점이 장점이다. 그러나 비틀림이 생기면 평면 보 이론으로는 설명되지 않는 뒤틀림 응력이 함께 생긴다.