공진

왜 배우는가: 공진은 기계·토목·건축 구조물 모두에서 진동 피해와 파괴의 대표 원인이어서 설계와 점검의 기본 개념이 된다. 내진·풍응답·진동 점검 문제에서 반복해 출제되므로 정의와 증폭 원리를 정확히 알아야 한다.

출제 이력: 제133회 2교시 3번, 제93회 4교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

공진은 가진 진동수가 구조물의 고유진동수와 일치할 때 진폭이 크게 증폭되는 현상이다.

핵심 키워드

• 고유진동수
• 가진 진동수
• 진동수비
• 감쇠비
• 동적 증폭률
• 공진 진동수
• 공진 점검

답안 첫 줄에는 위 정의를 그대로 쓴다. 이어서 공진 조건과 진폭 증폭의 결과를 한 문장으로 붙인다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 공진은 그네를 미는 타이밍이 맞을 때 그네가 점점 높이 올라가는 것과 같다. 흔들림 주기와 밀어주는 주기가 같으면 작은 힘으로도 진폭이 커진다. 구조물도 같은 원리로 움직인다.

정식 정의는 다음과 같다. 1자유도 계에 조화 가진력 F_0\sin\omega t가 작용할 때, 가진 진동수 \omega가 고유진동수 \omega_n에 가까워지면 정상상태 응답 진폭이 최대가 되는 현상이다. 이 현상을 공진이라 하고, 응답이 최대가 되는 가진 진동수를 공진 진동수라 한다.

고유진동수는 계가 외력 없이 자유 진동할 때의 진동수다. 질량과 강성으로 정해지며 하중의 크기와는 무관하다. 다자유도 구조는 모드 수만큼 고유진동수를 가지며, 각 고유진동수에 대응하는 모드형상이 있다. 따라서 구조물의 공진 검토는 1차 모드만이 아니라 주요 모드 전체를 대상으로 한다.

진동수비는 r=\omega/\omega_n으로 정의한다. 감쇠가 없는 경우 r=1에서 응답이 무한대로 발산하지만, 실제 구조물은 감쇠 때문에 유한한 최대값을 가진다. 감쇠를 나타내는 감쇠비는 \zeta로 쓰며, 감쇠비가 작을수록 공진 피크가 날카롭고 높다.

감쇠가 있는 1자유도 계의 정상상태 동적 증폭률은 다음과 같다.

$\frac{u_{max}}{u_{st}}=\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}$

u_{max}는 최대 동적 응답 변위, u_{st}는 같은 크기의 힘을 정적으로 가했을 때의 변위, r은 진동수비, \zeta는 감쇠비다. 식에서 r=1을 대입하면 증폭률은 1/(2\zeta)가 된다. 감쇠비가 0.05이면 증폭률은 약 10배다. 공진 피크의 최대 증폭은 r=1 부근에서 최대이며, 이 지점이 설계에서 피해야 할 영역이다.

정리하면 공진의 핵심은 세 가지다. 고유진동수와 가진 진동수가 가까운지, 감쇠가 충분한지, 응답이 최대가 되는 지점이 설계 하중 범위에 드는지다. 답안에서는 이 세 조건을 원리로 설명하고 증폭식으로 뒷받침한다.

3. 등장 배경과 필요성

산업화 이후 기계와 구조물은 경량화·고강도화되었다. 이 과정에서 질량 대비 강성이 상대적으로 낮아져 고유진동수가 낮아지고, 감쇠도 작아지는 경우가 많았다. 그 결과 회전기계, 교량, 고층 건축물이 외력의 주기와 쉽게 맞아떨어지는 문제가 커졌다.

회전기계에서는 회전 속도가 고유진동수와 일치하는 임계 회전속도가 대표적 공진 문제다. 교량에서는 보행, 차량 통과, 바람에 의한 와류 진동이 구조 고유진동수와 맞을 때 진동이 커진다. 고층 건축물은 바람과 지진의 장주기 성분이 고유주기와 가까워질 때 상층부 응답이 크게 증가한다.

이를 막으려면 가진 주기를 피하거나, 고유진동수와 가진 진동수 사이에 충분한 여유를 두거나, 감쇠 장치를 쓰거나, 공진 상태가 머무는 시간을 짧게 해야 한다. 이 네 가지가 점검과 방지대책의 출발점이 된다.

진동피로 분석에서도 모달해석으로 고유진동수와 모드형상을 먼저 구해야 국부 응력을 정확히 예측할 수 있다. 따라서 공진은 단순한 현상 설명을 넘어 설계 검토 절차의 필수 단계다.

토목구조에서는 지진과 바람의 가진 주파수 대역을 구조물 고유진동수와 비교하는 것이 내진·풍응답 설계의 기본 절차다. 이 비교가 없으면 설계 하중의 크기가 맞더라도 응답이 과소 또는 과대하게 평가될 수 있다. 그래서 공진 개념은 기계 진동, 교량 진동, 내진 설계를 잇는 공통 기반으로 학습해야 한다.

4. 구성요소·원리·절차

공진(Resonance)의 발생 조건은 가진 진동수 f_e가 구조물의 고유진동수 f_n과 같아지는 것이다. 구조물은 질량 m, 강성 k, 감쇠 c의 세 요소로 구성되며, 이 중 고유진동수는 질량과 강성만으로 정해진다. [2]에 따르면 고유진동수는 구조의 강성과 참여 질량에만 의존하고 하중 함수에는 의존하지 않는다.

각 구성요소의 표는 공진 억제 방향을 한눈에 보여 준다. 질량과 강성을 바꾸면 고유진동수가 이동하고, 감쇠를 키우면 같은 가진에서도 진폭이 줄어든다. 감쇠비 \zeta가 작을수록 공진 진폭은 커진다.

고유진동수와 감쇠비를 함께 확인해야 공진 판정이 가능하다. 1자유도계의 정상상태 동적 배율은 다음과 같다.

$DAF = \frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}, \quad r = \frac{f_e}{f_n}$

여기서 r은 진동수비, f_e는 가진 진동수(Hz), f_n은 고유진동수(Hz), \zeta는 감쇠비(무차원)이다. r = 1 부근에서 DAF \approx 1/(2\zeta)가 되므로 감쇠비가 작으면 응답이 크게 증폭된다.

공진은 가진 진동수가 고유진동수와 일치할 때 응답이 최대가 되는 현상이다

절차는 다음과 같다.

• 구조물의 질량과 강성을 모델링하고 고유치 해석으로 고유진동수와 모드형상을 구한다.
• 설계 가진 진동수 범위(기계 회전수, 교통 가진, 풍하중 주기 등)를 정한다.
• 고유진동수와 가진 진동수의 진동수비를 계산하여 근접 여부를 판정한다.
• 근접하면 감쇠 부가, 강성·질량 변경 또는 동흡진기를 적용한다.
• 변경 후 모드를 재해석하여 근접이 해소되었는지 확인한다.

다자유도 구조물에서는 모드마다 공진 점이 따로 있다. 따라서 모드 중첩으로 응답을 구하되, 각 모드의 진동수가 가진 주파수 범위와 겹치지 않는지를 먼저 본다.

5. 관련 법령·기준·표준

공진 점검을 직접 규정한 법령 조항은 확인되지 않아 조항 번호를 쓰지 않는다. 설계에서는 도로교 내진설계기준과 같은 기준의 동적해석 조항에서 고유진동수 산정과 응답스펙트럼 해석을 요구하는 방식으로 적용된다. 다음 표는 본문에서 쓰는 기준 수치를 모은 것이다.

고유진동수의 산정 방법은 설계기준에 따라 다르다. 교량은 유한요소 고유치 해석으로 구하고, 간이식은 정적 처짐으로부터 f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}를 쓴다. 여기서 k는 강성(N/m), m은 질량(kg)이다.

6. 유형과 비교

공진은 에너지가 들어오는 방식에 따라 강제진동 공진, 자기여진 공진, 회전체 임계속도로 나눈다. 세 유형 모두 진동수가 맞을 때 진폭이 커지지만 원인과 점검 방법이 다르다.

강제진동 공진은 외력의 주파수를 조절할 수 없는 경우 가장 위험하다. 자기여진은 외력 없이 구조물 스스로 에너지를 받으므로 풍하중 조건에서 따로 검토한다. 회전체는 운전 속도 자체가 공진 조건이 된다.

진동수 용어도 구분해야 한다. 고유진동수는 고유치 문제로 정의되는 계의 성질이다. 공진주파수는 가진 주파수가 고유진동수와 일치할 때 나타나는 물리 현상이다. 두 값은 엄밀히 같지 않다. 감쇠가 있으면 감쇠고유진동수가 쓰인다.