재료 비선형 거동

왜 배우는가: 재료 비선형 거동은 구조물이 설계 하중을 넘는 상태, 즉 항복 이후와 장기 재하 상태에서 실제 변형과 파괴를 설명하는 출발점이다. 탄성 해석만으로는 설명되지 않는 처짐과 잔류변형을 다루므로 실무 해석과 내하력 판단에 직접 쓰인다. 시험에서는 응력-변형률 곡선의 형태 비교, 그리고 비선형 재료를 포함한 부정정 구조의 변형 계산 문제로 반복해 출제된다.

출제 이력: 제110회 2교시 2번, 제93회 3교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의 문장:

재료 비선형 거동은 응력과 변형률이 비례하지 않아 하중을 제거해도 잔류변형이나 시간 의존 변형이 남거나, 응력-변형률 관계가 곡선으로 변하는 재료 거동이다.

핵심 키워드

• 비선형 탄성(nonlinear elastic)
• 소성(plastic) 변형
• 점탄성(viscoelastic)
• 점소성(viscoplastic)
• 크리프(creep)
• 히스테리시스(hysteresis)
• 접선 계수(tangent modulus)
• Ramberg-Osgood 법칙

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 재료가 힘을 받을 때 늘어나는 양이 힘에 정비례하지 않는 경우를 모두 포함한다. 강재와 콘크리트는 하중이 작을 때는 거의 직선으로 거동하지만, 일정 수준을 넘으면 곡선으로 바뀌고 제거 후에도 변형이 남는다.

정식 정의는 다음과 같다. 응력-변형률 관계가 선형 범위(훅 법칙이 성립하는 범위)를 벗어난 재료 거동을 비선형 거동이라 한다. 선형 재료로는 강철, 탄소 섬유, 유리가 대표적이고, 고무와 토양은 비선형 재료로 분류된다. 다만 이 구분은 절대적이지 않다. 비선형 재료도 미소 변형에서는 선형으로 볼 수 있고, 선형 재료도 큰 응력에서는 비선형 거동을 보인다.

비선형 탄성은 하중을 제거하면 원래 형상으로 돌아오지만 응력과 변형률의 비(탄성 계수 E)가 일정하지 않은 거동이다. 하중 경로와 제거 경로가 같은 곡선을 따르므로 잔류 변형은 없다. 다만 하중-제거 곡선이 일치하지 않으면 히스테리시스가 생겨 그 사이 면적만큼 에너지가 손실된다.

소성은 항복 응력을 넘은 뒤 변형이 회복되지 않고 남는 거동이다. 금속은 원자들이 서로 미끄러지며 소성 변형이 생기고, 콘크리트와 목재는 미세 균열과 쪼개짐 같은 손상으로 잔류 변형이 생긴다. 소성 해석에서는 재료를 사용할 수 있는 최대 응력이 항복 응력을 넘지 않도록 설계한다.

점탄성은 탄성과 점성을 함께 가진 재료가 일정 응력을 받을 때 시간에 따라 변형이 늘어나는 거동이다. 응력을 제거하면 변형이 즉시 줄어든 뒤 서서히 줄어 잔류 변형이 남는다. 이 시간 의존 변형을 크리프(creep)라 부르며, 긴장재 손실과 장기 처짐에 영향을 준다.

점소성은 항복 이후 변형이 속도에 따라 달라지는 소성 거동이다. 고온이나 고속 변형에서 두드러진다.

3. 등장 배경과 필요성

초기 구조 해석은 재료가 훅 법칙을 따른다고 가정하고 탄성 해석으로 부재를 설계했다. 그러나 실제 구조물은 설계 하중을 넘는 사고 하중이나 지진에서 항복과 파괴가 일어난다. 탄성 해석은 가역성을 가정하므로 이런 파괴 과정을 묘사하지 못한다.

또한 콘크리트와 PSC 긴장재는 시간에 따라 변형이 늘어나므로, 초기 탄성 해석만으로는 장기 처짐과 프리스트레스 손실을 예측할 수 없다. 이 때문에 소성 해석, 점탄성 해석, 비선형 유한요소 해석이 필요해졌다.

비선형 거동을 알아야 하는 이유는 다음과 같다. 첫째, 파괴 하중과 연성 능력을 평가한다. 둘째, 잔류 변형과 사용성 한계를 판단한다. 셋째, 장기 하중에서 변형이 증가하는 정도를 예측한다.

4. 구성요소·원리·절차

재료 비선형 해석은 구성방정식, 항복조건, 유동법칙, 경화법칙의 네 요소로 구성된다. 각 요소의 역할은 다음과 같다.

표의 구성은 해석 목적에 따라 선택한다. 구성방정식만으로 비선형 거동의 기울기 변화를 설명할 수 있고, 항복조건과 경화법칙은 하중 제거 후 잔류변형을 설명한다.

재료가 비례한도를 넘으면 응력-변형률 곡선의 기울기가 줄어든다. 이 기울기를 접선 계수라 하며 E_t = \frac{d\sigma}{d\varepsilon} 로 쓴다. 기울기가 0에 가까워지면 재료는 하중을 더 받지 못하고 크게 변형한다. 반대로 임의 점과 원점을 잇는 기울기는 할선 계수 E_s = \frac{\sigma}{\varepsilon} 이다. 할선 계수는 응력 수준에 따라 달라지므로 비선형 해석에서 기준 강성으로 쓰기 어렵다.

곡선을 수식으로 나타내는 대표 식은 Ramberg-Osgood 식이다. 식은 \varepsilon = \frac{\sigma}{E} + \alpha\frac{\sigma_0}{E}\left(\frac{\sigma}{\sigma_0}\right)^{n} 이다. 여기서 E는 초기 탄성계수, \sigma_0는 기준 항복응력, \alpha와 n은 재료 상수다. 식의 첫 항은 탄성 변형, 둘째 항은 소성 변형을 뜻한다. 값 n이 클수록 항복 후 곡선이 급히 꺾인다. 이는 취성에 가까운 재료에 해당한다.

비선형 해석은 하중을 증분으로 나누어 반복 계산한다. 절차는 다음과 같다.

• 재료시험으로 응력-변형률 곡선을 얻고 구성모델을 고른다.
• 최종 하중을 여러 증분으로 나눈다.
• 각 증분에서 현재 상태의 접선 강성 E_t를 계산한다.
• 강성으로 변위와 응력을 갱신하고 내력을 구한다.
• 외력과 내력의 차인 불균형력이 허용오차 이내인지 검사한다.
• 미수렴이면 3단계로 돌아가 반복한다. 수렴하면 다음 증분으로 넘어간다.

이력 거동은 하중 재하와 제하의 경로가 달라 생기는 에너지 손실이다. 이 손실은 두 곡선 사이의 면적으로 나타난다. 이 면적은 반복 하중에서 소산되는 에너지와 같다. 따라서 강재의 반복·충격하중 거동을 해석할 때는 이력 면적을 반드시 포함한다.

5. 관련 법령·기준·표준

비선형 해석과 재료 모델은 구조 설계기준과 재료 규격에서 정해진다. 설계기준은 「건축구조기준」과 국가건설기준 KDS의 강구조·콘크리트구조 설계기준을 따른다. 재료 규격은 KS 규격을 따른다. 강재의 기준 항복강도는 245MPa 이상(SS400, 두께 16mm 이하)이다. 강재 탄성계수는 210,000MPa(약 2.1\times10^5MPa)을 쓴다. 콘크리트 설계 응력은 0.85f_{ck}의 등가 응력블록으로 나타낸다. 주요 기준값을 표로 정리하면 다음과 같다.

표의 수치는 비선형 해석에서 기준 입력값으로 쓴다. 실제 해석에서는 재료 시험값이 설계값보다 우선한다.

강재와 콘크리트의 비선형 거동은 다르게 모델링한다. 강재는 항복 후 변형경화가 있는 이선형 또는 다선형 모델을 쓴다. 콘크리트는 인장 연화와 압축 연화를 각각 모델링한다.

6. 유형과 비교

재료 비선형 거동은 하중 제거 후 변형의 회복 여부와 시간 의존성으로 나눈다. 아래 표는 네 가지 거동을 하중 제거 후 상태, 응력-변형률 관계, 에너지 측면에서 비교한다.