프레임 좌굴하중

왜 배우는가: 프레임 구조의 안정성은 기둥 하나의 식만으로 판단할 수 없어 실무 설계의 기본이 된다. 입력된 기출 세 회차 모두 기둥 상단의 횡변위 조건을 주고 임계하중을 구하는 형태로 나왔으므로 K 해석 절차를 정확히 익혀야 한다.

출제 이력: 제136회 2교시 6번, 제129회 3교시 1번, 제120회 2교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

프레임 좌굴하중은 골조가 횡변위를 일으키며 불안정해지는 최소 압축하중이다.

• 프레임 좌굴: 기둥과 보가 연결된 골조 전체가 평형을 잃는 좌굴 형태다.
• 횡변위: 층이나 기둥 상단이 수평으로 이동하는 변위다.
• 이동 프레임: 횡변위를 허용하는 골조다.
• 비이동 프레임: 횡변위가 구속된 골조다.
• 유효좌굴길이계수 K: 실제 길이에 곱해 유효길이를 얻는 계수다.
• 임계하중(Pcr): 좌굴이 시작되는 최소 압축하중이다.
• 탄성좌굴: 응력이 비례한도 이하에서 일어나는 좌굴이다.

답안 첫 줄은 정의 문장으로 시작한다. 이어서 횡변위 허용 여부와 K 값을 쓴다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 기둥 하나를 떼어 보면 양단 조건만으로 좌굴하중이 정해진다. 실제 기둥은 보와 다른 기둥에 붙어 있어서 양단의 회전과 상단의 옆 이동이 주변 부재에 의해 제약된다. 이 제약의 차이가 프레임 좌굴하중을 바꾼다.

정식으로는 골조가 외력 증가에 따라 평형을 잃고 횡변위 모드로 전환되는 최소 압축하중을 프레임 좌굴하중이라 한다. 기둥 단독 식의 형태는 $P_{cr}=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$ 이다. 기호는 E 탄성계수(MPa), I 단면 2차 모멘트(mm⁴), L 부재 길이(mm), K 유효좌굴길이계수(무차원)다.

이동 프레임은 층 횡변위를 허용하는 골조다. 기둥 상단이 옆으로 움직이면 변곡점 사이 거리가 늘어나 K가 커지고, 같은 기둥이라도 임계하중이 낮아진다. 비이동 프레임은 횡지지나 전단벽으로 횡변위가 막힌 골조이며, 이때 K는 상대적으로 작다.

유효좌굴길이는 변곡점과 변곡점 사이의 거리로 해석한다. 이 값은 기둥을 단순지지 기둥으로 환산한 길이에 해당한다. 임계응력이 비례한도를 넘으면 기둥은 비탄성 좌굴을 하므로, 프레임 좌굴의 기본 해석은 탄성 범위를 전제한다.

프레임 좌굴은 P-Δ효과와 구분해야 한다. P-Δ효과는 횡변위가 하중 편심을 만들어 휨을 키우는 2차 효과다. 프레임 좌굴은 강성 행렬의 행렬식이 0이 되는 고유치 문제다. 해석 절차는 다음과 같다.

• 골조의 횡변위 모드 여부를 판단한다.
• 기둥 양단 회전각과 횡변위를 미지수로 둔다.
• 처짐각법으로 부재 강성식을 세운다.
• 계수 행렬의 행렬식을 0으로 놓는다.
• 최소 고유치에서 임계하중을 구하고 K 값을 역산한다.

양단 조건별 K 값은 기둥 단독 기준으로 지점 조건에 따라 달라진다. 프레임에서는 이 값을 그대로 쓰지 않고 강성비에 따라 보정한다.

3. 등장 배경과 필요성

오일러는 1757년에 중심 압축을 받는 단순지지 기둥의 탄성좌굴하중을 미분방정식으로 구했다. 이 식은 기둥을 독립된 부재로 본 모델이다. 실제 건축·토목 구조물은 보와 기둥이 강접합된 라멘이므로, 단일 기둥 식을 그대로 쓰면 좌굴하중을 과대 또는 과소 평가할 수 있다.