감쇠계수

왜 배우는가: 감쇠계수는 구조물의 진동이 얼마나 빨리 줄어드는지를 정하는 값이다. 지진과 풍하중에 대한 공진 응답 크기를 좌우하므로 내진·내풍 설계의 기초가 된다. 자유진동 시험에서 진폭 감소를 측정해 감쇠를 역산하는 문제가 기술사 시험에 반복해서 나온다.

출제 이력: 제138회 1교시 11번, 제118회 3교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의 문장: 감쇠계수는 속도에 비례하는 감쇠력의 비례상수로, 진동 에너지가 소산되는 정도를 나타내는 값이다.

핵심 키워드

• 감쇠계수(damping coefficient): 속도 1단위당 감쇠력의 크기로, 단위는 kN·s/m 이다.
• 점성감쇠(viscous damping): 감쇠력이 속도에 비례하는 감쇠 형태이며, 해석에서 가장 많이 쓴다.
• 임계감쇠계수(critical damping coefficient): 진동 없이 평형 위치로 돌아가는 최소 감쇠계수이다.
• 감쇠비(damping ratio): 감쇠계수와 임계감쇠계수의 비이며 무차원이다.
• 대수감쇠율(logarithmic decrement): 연속한 두 진폭비의 자연로그로, 시험 자료에서 감쇠를 구하는 기준이다.
• 감쇠고유진동수(damped natural frequency): 감쇠가 있는 계가 실제로 진동하는 진동수이다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면 감쇠계수는 진동을 멈추게 하는 저항의 세기다. 줄에 매단 추를 흔들면 시간이 지날수록 진폭이 줄어든다. 이때 줄어드는 빠르기를 수치로 나타낸 것이 감쇠계수다.

정식 정의는 1자유도 계의 운동방정식으로 나타낸다. 외력이 없는 경우 식은 m\\ddot{x}+c\\dot{x}+kx=0 이다. 여기서 m은 질량(kN·s²/m), c는 감쇠계수(kN·s/m), k는 강성(kN/m), x는 변위(m)이다. 감쇠력 f_D=c\\dot{x} 는 속도에 비례한다.

임계감쇠(critical damping) 는 진동이 생기지 않고 평형으로 가장 빨리 돌아가는 상태다. 이때의 감쇠계수가 임계감쇠계수 c_{cr}=2\\sqrt{km}=2m\\omega_n 이다. 여기서 \\omega_n 은 고유진동수(rad/s)이다.

감쇠비(damping ratio) \\zeta=c/c_{cr} 는 감쇠의 상대적 크기를 나타낸다. 감쇠비가 1보다 작으면 진동이 남아 감쇠한다. ζ<1 저감쇠이면 진동하면서 진폭이 줄고, ζ=1 임계감쇠이면 진동 없이 복귀하며, ζ>1 과감쇠이면 진동 없이 천천히 복귀한다.

자유진동 시험에서는 진폭 감소로 대수감쇠율을 구하고 감쇠비로 환산한다.

대수감쇠율(logarithmic decrement) \\delta 는 연속한 두 진폭의 비 \\delta=\\ln(x_n/x_{n+1}) 이다. 이 값은 진폭비가 일정하다는 점을 이용한다. n사이클 후의 진폭을 쓰면 \\delta=\\frac{1}{n}\\ln(x_1/x_{n+1}) 로 쓸 수 있다. 감쇠비는 \\zeta=\\delta/\\sqrt{4\\pi^2+\\delta^2} 로 환산한다.

감쇠고유진동수(damped natural frequency) \\omega_d 는 감쇠가 있을 때 실제 진동수다. 식은 \\omega_d=\\omega_n\\sqrt{1-\\zeta^2} 이다. 감쇠비가 작으면 \\omega_d 는 \\omega_n 과 거의 같다. 감쇠계수는 c=\\zeta c_{cr}=2\\zeta\\sqrt{km} 로 구한다.

3. 등장 배경과 필요성

구조물의 동적 응답은 질량과 강성만으로 정해지지 않는다. 감쇠가 있어야 공진 때의 응답 진폭이 유한하게 제한된다. 감쇠를 무시하면 공진 시 응답이 과도하게 커져 설계가 불안전해진다.

설계 단계에서는 감쇠를 직접 계산하기 어렵다. 그래서 적용 설계기준의 감쇠비 규정을 확인해 값을 정하고, 실물 구조물은 계측으로 확인한다. 자유진동 시험은 이 확인 방법의 하나다. 시험에서는 강체 거더를 변위시킨 뒤 놓아서 진폭 감소를 측정한다.

감쇠의 물리적 원인은 여러 가지다. 점성 감쇠 외에 두 마른 면이 미끄러질 때 생기는 쿨롬(건마찰) 감쇠가 있다. 재료가 변형될 때 생기는 이력 감쇠도 있다. 해석에서는 이들을 점성 감쇠로 등가화해 다루는 것이 일반적이다.

교량과 같은 장대 구조물에서는 지진과 풍하중에 의한 진동을 줄이는 데 감쇠 장치를 쓴다. 이때 설계자는 감쇠계수를 정확히 정해야 한다. 감쇠계수가 부족하면 진동 저감 효과가 작고, 과하면 장치의 비용과 하중이 커진다.

따라서 감쇠계수는 측정, 계산, 설계 값의 세 단계에서 모두 다뤄져야 한다. 시험 문제도 측정 자료에서 감쇠계수를 역산하는 절차를 묻는 경우가 많다.

4. 구성요소·원리·절차

감쇠계수(Damping Coefficient, c)는 속도에 비례하는 점성 감쇠력의 비례상수다. 1자유도계의 운동방정식은 다음과 같다.

$m\\ddot{u}+c\\dot{u}+ku=p(t)$

여기서 m은 질량(kN·s²/m), k는 강성(kN/m), c는 감쇠계수(kN·s/m), u는 변위(m)다. 감쇠계수의 단위는 kN·s/m이다.

위 표의 감쇠계수는 임계감쇠계수를 기준으로 정한다. 임계감쇠계수는 c_{cr}=2\\sqrt{km}=2m\\omega_n으로 구한다. 감쇠비는 \\zeta=c/c_{cr}이므로 감쇠계수는 c=2\\zeta m\\omega_n이 된다. 감쇠비가 1보다 작으면 과소감쇠가 되어 진동이 발생하고, 감쇠진동수는 \\omega_d=\\omega_n\\sqrt{1-\\zeta^2}로 고유진동수보다 작다. 감쇠가 작은 구조물에서는 두 진동수의 차이가 작아 실무에서 \\omega_d\\approx\\omega_n으로 근사하기도 한다.

감쇠계수는 직접 재기 어렵기 때문에 자유진동 기록에서 간접적으로 구한다. 인접한 두 최대진폭의 비에 자연로그를 취한 대수감쇠율(Logarithmic Decrement, δ)을 이용한다.

$\\delta=\\ln\\frac{u_n}{u_{n+1}}=\\frac{1}{n}\\ln\\frac{u_1}{u_{n+1}}$

여기서 u_n은 n번째 최대진폭(m), n은 주기 수다. 과소감쇠 구조에서는 \\zeta=\\dfrac{\\delta}{\\sqrt{4\\pi^2+\\delta^2}}로 감쇠비를 구한다. 감쇠비가 작으면 \\zeta\\approx\\delta/2\\pi로 근사해도 된다.

절차는 다음과 같다.

• 자유진동 기록에서 인접 최대진폭 u_n, u_{n+1}을 읽는다.
• 대수감쇠율 δ를 계산한다.
• 감쇠비 ζ를 계산한다.
• 고유진동수 ω_n=√(k/m)을 구한다.
• 임계감쇠계수 c_cr=2mω_n을 구하고 c=ζ·c_cr로 감쇠계수를 구한다.

계산 확인 예로, 연속 사이클의 진폭비를 이용해 감쇠계수를 구하는 과정을 본다. 주어진 값은 m=3kN·s²/m, k=500kN/m다. 연속 사이클의 진폭비를 r=u_{n+1}/u_n으로 두면 대수감쇠율은 \\delta=\\ln(1/r)이다. 감쇠비는 \\zeta=\\delta/\\sqrt{4\\pi^2+\\delta^2}로 구한다. 고유진동수는 \\omega_n=\\sqrt{500/3}=12.91rad/s다. 임계감쇠계수는 c_{cr}=2\\times3\\times12.91=77.5kN·s/m다. 따라서 c=\\zeta\\times77.5kN·s/m다. 감쇠 상태는 구한 감쇠비와 1의 관계로 판단한다.

감쇠계수는 c=ζ·c_cr=2ζmω_n으로 구한다

5. 관련 법령·기준·표준

감쇠계수 자체를 직접 규정하는 법령은 없다. 실무에서는 적용 설계기준의 감쇠비 규정을 확인해 값을 정한다. 아래 표는 본문 계산에 쓰는 기준식과 감쇠비 적용 시 확인할 항목을 모은 것이다.

개정 연혁은 근거가 없어 쓰지 않는다.

ζ=c/c_cr

6. 유형과 비교(비교표 2개 이상)

감쇠는 에너지가 소산되는 원인에 따라 나뉜다. 해석에서는 대부분 점성감쇠로 치환하여 감쇠계수 c 하나로 다룬다. 쿨롬 감쇠와 이력 감쇠도 등가 점성감쇠로 바꾸면 같은 방식으로 계산할 수 있다.