구조해석 좌표계

왜 배우는가: 구조해석에서 좌표계를 잘못 잡으면 같은 구조물도 부재력과 변위의 부호나 성분이 달라진다. 경사 지점, 곡선 부재, 원형·구형 구조를 해석할 때 어느 좌표계를 쓸지 판단하는 능력은 실무 모델링의 기본이다. 시험에서는 좌표의 종류와 적용 예를 묻는 형태로 반복 출제된다.

출제 이력: 제101회 1교시 8번, 제98회 1교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

구조해석 좌표계는 절점 변위와 부재력의 성분을 정의하는 기준 축 체계이며, 전체좌표계와 국부좌표계로 나눈다.

핵심 키워드

• 전체좌표계
• 국부좌표계
• 부재좌표계
• 절점좌표계
• 좌표 변환행렬
• 자연좌표
• 원통좌표계
• 구면좌표계

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 구조물의 위치와 방향을 재는 기준 눈금이다. 같은 보라도 수평 보와 경사 부재의 힘 성분이 다르므로 먼저 기준 축을 정해야 식을 세울 수 있다.

정식 정의는 다음과 같다. 구조해석에서 좌표계는 구조물 또는 부재의 위치, 변위, 힘을 수치로 나타내기 위해 설정한 직교 또는 곡선의 기준 축 체계를 말한다. 축의 방향과 원점을 정하면 모든 절점과 부재의 값이 같은 기준에서 비교된다.

핵심 용어는 다음과 같다.

• 전체좌표계(global coordinate system): 구조물 전체에 하나만 두는 기준계다. 지점 조건과 하중의 방향을 여기서 정의하고, 전체 평형식과 강성행렬의 조립이 이 좌표에서 이루어진다.
• 국부좌표계(local coordinate system): 각 부재나 요소마다 따로 두는 기준계다. 보통 부재축을 x축으로 잡아 축력과 휨모멘트를 직접 정리한다.
• 부재좌표계: 국부좌표계와 같은 뜻으로 쓰이며, 부재의 양 끝 절점을 잇는 축을 기준으로 한다. 단면의 주축을 y, z축으로 맞추는 경우가 많다.
• 좌표 변환행렬(transformation matrix): 국부좌표계의 값을 전체좌표계로 옮기는 행렬이다. 방향 코사인으로 구성하며, 2차원 부재는 축 방향 각도 θ의 cos와 sin이 원소가 된다.

변환 관계는 다음과 같다. u_L = T u_G 에서 u_L은 국부좌표계 절점 변위, u_G는 전체좌표계 절점 변위, T는 변환행렬이다. 힘은 f_G = T^T f_L 로 옮긴다. 두 식을 함께 써야 부재 강성을 전체 좌표에서 조립할 수 있다.

부재 내력은 국부좌표계에서, 구조물 전체 평형은 전체좌표계에서 다룬다.

곡선이나 형상이 특수한 구조물에는 직교 좌표 대신 다른 좌표를 쓴다. 원호 보에서는 호의 길이 s나 극좌표 (r, \theta)가 편하다. 유한요소에서는 요소 내부의 위치를 요소 형상과 무관하게 나타내는 자연좌표를 쓴다. 자연좌표 \xi, \eta의 범위는 -1~+1이며, 요소의 실제 치수와 상관없이 적분 구간을 고정할 수 있다.

3. 등장 배경과 필요성

초기 골조 해석은 부재가 수평과 수직 두 방향으로만 놓인 경우가 많아 하나의 직교 좌표계로 충분했다. 그러나 경사 지점, 곡선 보, 아치, 원형 탱크, 돔처럼 형상이 다양해지면서 좌표를 하나로만 쓰면 행렬 원소가 복잡해지고 입력 오류가 늘었다.

유한요소법이 보편화되면서 요소마다 국부좌표를 두고 이를 전체 강성행렬로 조립하는 방식이 표준이 되었다. 이때 변환행렬의 정확성이 해석 결과의 신뢰도를 좌우한다. 경사 롤러 지점의 구속 방향을 국부좌표계로 정의하는 것이 대표적인 실무 사례다.

또한 좌표계 선택은 계산량에도 영향을 준다. 구조물 형상과 맞는 좌표를 쓰면 적분이 단순해지고 대칭성을 이용해 자유도를 줄일 수 있다. 반대로 맞지 않는 좌표를 쓰면 같은 결과를 얻기 위해 식이 길어지고 검증이 어려워진다.

시험에서 좌표계가 반복 출제되는 이유도 여기에 있다. 같은 구조물이라도 좌표계를 달리하면 결과식의 형태가 바뀌므로, 좌표의 종류와 적용 조건을 구분해 설명할 수 있어야 한다.

4. 구성요소·원리·절차

구조해석의 좌표계는 세 층으로 쓰인다. 전체좌표계는 구조물 전체의 절점 위치와 하중 방향을 정한다. 부재좌표계는 개별 부재의 강성행렬을 만드는 기준이다. 자연좌표계는 요소 내부에서 형상함수와 수치적분을 위해 쓴다.

위 표에서 전체좌표계와 부재좌표계의 관계가 해석의 핵심이다. 경사 지점과 곡선 형상은 같은 원리를 지점 또는 요소 단위로 적용하는 것이다.

부재좌표 강성의 원리: 부재축 기준에서 축방향 강성은 EA/L, 휨 강성은 EI/L 계열 항으로 간단히 나온다. 방향이 다른 부재를 한 전체좌표계에 모으려면 좌표 변환이 필요하다. 부재 강성은 부재좌표에서 만들고 변환행렬로 전체좌표에 모은다.

부재축이 전체 X축과 θ의 각도를 이룰 때 회전 변환행렬은 다음과 같다. $T = [cosθ sinθ 0 ; -sinθ cosθ 0 ; 0 0 1]$ 여기서 θ는 전체 X축에서 부재축 x까지 반시계 방향 각도다. 2차원 보-기둥 요소는 양 절점의 3×3 행렬을 대각으로 배치한 6×6 변환행렬을 쓴다. 부재 전체 강성은 다음과 같다. $K = T^T k T$ T^T는 T의 전치행렬이고, k는 부재좌표에서 만든 요소 강성행렬이다.

자연좌표의 원리: 자연좌표 ξ는 요소 내부에서 −1~1 범위로 변한다. 물리 좌표는 x = Σ N_i(ξ) x_i 로 사상한다. 같은 형상함수로 변위와 기하를 나타내므로 곡선 경계 요소에서 계산이 편하다.

곡선·축대칭 형상: 원호보와 링은 극좌표 θ로 쓰면 경계조건이 단순해진다. 원통좌표와 구면좌표는 축대칭 탱크, 돔처럼 대칭 형상에서 쓴다.

절차는 다음 순서다.

• 전체좌표계와 절점 번호를 정한다.
• 부재마다 부재좌표계를 정한다. x축은 시작 절점에서 끝 절점 방향으로 둔다.
• 부재좌표에서 요소 강성 k를 만든다.
• 변환행렬 T로 전체좌표 강성 K = T^T k T를 구한다.
• 지점 조건을 전체좌표 또는 경사 지점 좌표로 적용한다.
• 전체 방정식 KU = F를 풀고, 부재력은 다시 부재좌표로 되돌려 구한다.

계산 확인(축강성 성분): θ = 30°이면 cos²θ = 0.75이다. 따라서 전체 X방향 축강성 성분은 0.75EA/L이 된다. 원래 축강성 EA/L보다 작으므로 상식 범위에 맞는다.

5. 관련 법령·기준·표준

좌표계 자체를 정하는 법령 조항은 없다. 구조해석의 좌표 관례는 설계기준과 구조역학 교재에 따른다. 아래 값은 해석 교재에 널리 실린 요소 강성의 기준이다.

위 값은 부재 요소 한 개의 강성식이다. 부호와 항의 위치는 자유도 순서와 좌표 정의에 따라 달라진다. 답안에는 자유도 순서를 함께 쓴다.

경사 지점 조건: 롤러 지점 반력 방향이 전체축과 다르면 경사 좌표로 변환해 변위 조건을 준다. 이 단계는 변환행렬 적용과 같은 원리다.

따라서 개정 시점은 쓰지 않는다.

6. 유형과 비교

구조해석 좌표계는 목적에 따라 전체좌표계, 부재(요소)좌표계, 절점좌표계, 곡선좌표계로 나뉜다. 각 좌표계가 어디에 쓰이는지 비교하면 답안의 근거가 분명해진다.