편심하중 단주 응력

왜 배우는가: 편심하중을 받는 단주는 축력과 휨이 함께 작용해 한쪽 면에 인장응력이 생길 수 있다. 콘크리트·조적 기둥은 인장에 약해 중립축 위치와 최대 인장응력 확인이 설계 안전성의 핵심이다. 두 회차 모두 편심 단주의 중립축과 최대응력을 묻는 형태로 반복 출제되었다.

출제 이력: 제139회 4교시 6번, 제117회 2교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 편심하중 단주는 축력과 휨모멘트가 동시에 작용하여 단면에 압축응력과 휨응력이 중첩되는 기둥이다.

핵심 키워드

• 편심거리
• 도심
• 단면2차모멘트
• 중립축
• 핵점
• 핵
• 최대압축응력
• 최대인장응력

2. 개념 풀이

편심하중이란 하중의 작용선이 기둥 단면의 도심과 일치하지 않는 하중이다. 이때 기둥에는 축방향 압축과 휨이 같이 생긴다. 쉽게 말해 중심에서 벗어난 힘이 기둥을 누르면서 동시에 휘게 만드는 상태다.

정식으로는 중립축(응력이 0인 직선)을 기준으로 한쪽은 압축, 다른 쪽은 인장이 되는 응력분포를 말한다. 편심하중의 응력은 축력에 의한 균등응력과 휨에 의한 선형응력의 합으로 구한다. 중첩의 원리가 성립하는 범위에서 단면에 직선 분포 응력이 생긴다.

핵점(core point)은 단면에 인장응력이 발생하지 않도록 하중이 작용할 수 있는 한계 위치다. 핵점으로 둘러싸인 영역을 핵(core)이라 한다. 콘크리트·조적 기둥은 인장 저항이 작으므로 하중이 핵 안에 들어오도록 설계하는 것이 기본이다. 근거에 따르면 집중하중이 핵점에 작용하면 단면에 인장응력이 생기지 않는다.

단주의 응력 산정은 다음 식을 쓴다. 압축응력을 양(+)으로 한다.

$\sigma = \frac{P}{A} + \frac{P e_y y}{I_x} + \frac{P e_x x}{I_y}$

여기서 P는 축하중(N), A는 단면적(mm²), e_x, e_y는 도심에서 하중 작용점까지의 편심거리(mm), I_x, I_y는 도심축에 대한 단면2차모멘트(mm⁴), x, y는 응력을 구할 점의 좌표(mm)다. 이 식은 편심하중을 도심 축하중과 두 축 방향 휨모멘트로 분해한 것이다.

중립축은 \sigma=0인 직선이다. 따라서 중립축 위치는 축하중이 단면 밖으로 얼마나 떨어졌는지에 따라 결정된다. 중립축이 단면을 가로지르면 단면 일부에 인장이 생기고, 단면 밖에 있으면 전 단면이 압축이다.

3. 등장 배경과 필요성

초기 구조물에서는 기둥을 축하중만 받는 이상 상태로 가정하는 경우가 많았다. 그러나 실제 기둥에는 보의 단부 반력, 바닥판의 편심 재하, 시공 오차, 횡하중이 함께 작용한다. 이 때문에 편심 효과를 설계에 반영해야 할 필요가 생겼다.

특히 석재·벽돌·콘크리트처럼 인장강도가 낮은 재료는 인장응력 발생 여부가 곧 균열과 파괴 시작 조건이다. 그래서 중립축 위치와 최대 인장응력을 검토하는 절차가 필요하다. 교각과 벽체 기둥에서 편심 축하중 검토는 현재에도 기본 단계로 남아 있다.

단면 형상이 직사각형이 아닌 경우에도 같은 원리를 쓴다. 다만 I_x, I_y의 계산과 단면 좌표계가 복잡해진다. 시험에서는 단면 치수와 편심 방향을 먼저 정리하고 식을 대입하는 순서가 핵심이다.

4. 구성요소·원리·절차

단주는 축력 P와 두 축 방향 휨모멘트가 동시에 작용하는 부재다. 편심거리 ex, ey가 주어지면 Mx=P·ey, My=P·ex로 바꾸고, 응력은 직접응력과 휨응력을 중첩해 구한다. 중첩이 가능한 이유는 응력이 작아 재료가 탄성 범위에 있다고 보기 때문이다.

위 식은 압축응력을 양(+)으로 둔 부호 규약에 따른다. Ix, Iy는 도심축에 대한 단면2차모멘트이므로 단면 성질은 도심 좌표계에서 구한다. 편심 방향 모서리에는 최대압축이, 반대 모서리에는 최소응력이 생긴다. 최소응력이 음(−)이면 그 위치에 인장이 발생한다.

단면 인장 발생 여부는 최소응력의 부호로 판정한다.

직사각형 단면(폭 b, 깊이 h)에서는 Ix=bh³/12, Iy=hb³/12이므로 응력식은 다음과 같이 정리된다.

$\sigma(x,y)=\frac{P}{A}\left(1+\frac{12e_x x}{b^2}+\frac{12e_y y}{h^2}\right)$

여기서 A=bh(mm²), x와 y는 도심 기준 좌표(mm), 응력 단위는 MPa(N/mm²)다. 괄호 안 두 번째 항은 x방향 편심, 세 번째 항은 y방향 편심에 의한 비율이다.

중립축은 괄호 안이 0인 직선이다.

$1+\frac{12e_x x}{b^2}+\frac{12e_y y}{h^2}=0$

중립축의 x절편은 -b^2/(12e_x), y절편은 -h^2/(12e_y)이다. 중립축은 편심 반대쪽 모서리 부근을 지나 단면을 가른다. 중립축이 단면 밖에 있으면 단면 전체가 압축이다. 두 방향 편심이 동시에 있으면 중립축은 기울어진 직선이 된다.

인장이 전혀 생기지 않는 하중 범위는 핵(Core)으로 정해진다. 최소응력이 0이 되는 조건에서 핵 경계식이 나온다.

핵 경계는 최소응력이 0이 되는 조건으로 정한다.

하중 작용점이 핵 안에 있으면 단면에 인장이 생기지 않는다. 한 방향만 편심하면 하중 작용점이 해당 방향의 핵 경계 안에 있어야 한다. 두 방향 편심의 핵은 마름모꼴이다. 핵의 모서리 쪽 경계선은 최소응력이 0이 되는 중립축과 같다.

계산 절차는 다음과 같다.

• 단면의 A, Ix, Iy를 도심 기준으로 구한다.
• 축력 P와 편심 ex, ey로 Mx=P·ey, My=P·ex를 구한다.
• 응력식에 네 모서리 좌표를 대입해 응력을 구한다.
• 최소응력의 부호로 인장 발생 여부를 판정한다.
• σ=0 식으로 중립축 절편을 구해 도시한다.
• 최대압축과 최대인장을 MPa 단위로 정리한다.

세장한 기둥은 편심에 의해 생기는 추가 휨(P-Δ효과)을 별도로 고려한다. 위 식은 1차 탄성응력 검토이므로 이 점을 답안에 함께 적는다.

5. 관련 법령·기준·표준

편심하중 응력은 탄성 이론에서 나온 식이므로 조문 번호로 정해진 기준값은 없다. 실무에서는 콘크리트구조 설계기준이 편심 기둥의 단면 검토 방법과 강도 검토를 준다. 이론식의 값은 이 기준의 단면 검토와 함께 쓴다. 이론식 자체는 기준 개정과 무관하다.

위 표의 이론 값은 직사각형 단면과 탄성 가정에서 나온다. 기준의 인장 한계와 강도 검토 값은 설계기준 판본에서 직접 확인해야 한다. 원형 등 다른 단면은 Ix, Iy와 핵 식을 따로 구한다.

콘크리트구조 설계기준의 인장 판정 세부 조건은 해당 판본에서 확인해야 한다.

6. 유형과 비교

편심 하중의 작용 방향에 따라 응력 상태와 중립축 형태가 달라진다. 먼저 하중 형태별 차이를 비교한다.