탄성좌굴

왜 배우는가: 탄성좌굴은 압축재 안정성 검토의 출발점이며, 교량 트러스 압축부재와 기둥 설계의 기본 원리다. 시험에서는 임계하중, 유효좌굴길이, 세장비를 이용한 계산 문제로 여러 차례 출제되었다. 이 절의 식과 기호를 익히면 비탄성좌굴과 좌굴 허용하중 문제에도 바로 적용할 수 있다.

출제 이력: 제138회 3교시 6번, 제129회 1교시 3번, 제125회 3교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

탄성좌굴은 압축재가 재료의 비례한도 이내에서 횡방향 변위를 일으키며 갑자기 불안정해지는 현상이다.

답안 첫 줄에는 위 정의를 쓴다. 이어서 아래 핵심 키워드의 뜻을 한 줄씩 정리해 둔다.

• 탄성좌굴: 좌굴이 일어날 때의 응력이 비례한도 이내인 좌굴.
• 임계하중(Pcr): 기둥이 직선 평형을 잃는 최소 축하중.
• 유효좌굴길이(KL): 지점조건을 반영해 환산한 기둥의 길이.
• 세장비(λ): 유효좌굴길이를 최소 회전반지름으로 나눈 값.
• 회전반지름(r): 단면 2차 모멘트와 단면적으로 정해지는 단면 성질.
• 오일러 좌굴하중: 탄성좌굴 임계하중을 주는 기본식.
• 비례한도: 탄성 거동의 상한 응력이며 좌굴 형태를 구분하는 기준.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 긴 막대를 양 끝에서 세게 누르면 어느 순간 옆으로 휘면서 힘을 견디지 못한다. 재료가 아무리 강해도 이 현상이 먼저 일어날 수 있다. 이것이 좌굴이다.

정식 정의는 다음과 같다. 좌굴은 기둥이 직선 평형상태를 유지하다가 축하중이 임계값에 도달하면 횡방향 처짐이 급격히 커지는 불안정 현상이다. 좌굴은 재료가 항복하기 전에도 일어나므로 강도 파괴와 구별된다.

탄성좌굴은 이 임계상태의 응력이 비례한도 이내에 머무는 경우를 뜻한다. 오일러는 완전한 직선 기둥, 길이 방향으로 일정한 단면, 훅의 법칙을 따르는 재료, 작은 변형을 가정했다. 이 가정에서 휨미분방정식 EIv'' + Pv = 0 을 풀면 임계하중이 나온다. 가장 낮은 모드의 해가 최소 임계하중이며 다음 식으로 쓴다.

$P_{cr}=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$

여기서 E는 탄성계수(MPa), I는 단면 2차 모멘트(mm⁴), K는 유효좌굴길이계수, L은 부재 길이(mm)다. 좌굴은 단면의 가장 약한 축 방향으로 일어나므로 I는 최솟값을 쓴다. 임계응력은 단면적 A로 나누어 얻는다.

$\sigma_{cr}=\frac{P_{cr}}{A}=\frac{\pi^2E}{\lambda^2},\quad \lambda=\frac{KL}{r},\quad r=\sqrt{\frac{I}{A}}$

이 식에서 임계응력은 재료의 강도와 무관하고 E와 세장비 λ에만 좌우된다. 세장비가 클수록 임계응력이 작아지므로 가늘고 긴 부재일수록 좌굴에 약하다. 강재의 탄성계수는 200GPa 수준으로 알려져 있다.

Euler 식은 임계응력이 비례한도 σp 이하일 때만 성립한다. 한계세장비는 탄성좌굴과 비탄성좌굴의 경계가 되는 세장비다. 세장비가 λc 이상이면 탄성좌굴, 그보다 작으면 비탄성좌굴로 구분한다. 두 영역의 경계가 되는 값이 이 절의 핵심 판단 기준이다.

3. 등장 배경과 필요성

오일러는 1757년에 좌굴미분방정식으로 중심 압축을 받는 기둥의 탄성좌굴하중을 구했다. 이 이론은 이후 철골 구조와 철교가 확대되면서 긴 압축재를 설계하는 기준이 되었다. 압축 부재의 파괴를 재료 강도만으로 판단하면 세장한 부재를 놓치기 쉽다.

교량 트러스의 압축재에는 두 가지 좌굴이 발생할 수 있다. 면내 좌굴은 부재가 연직방향으로 변위하는 좌굴이고, 면외 좌굴은 부재가 수평방향으로 좌굴되는 현상이다. 두 경우 모두 유효좌굴길이를 어떻게 잡느냐에 따라 임계하중이 크게 달라진다. 그래서 지점조건에 맞는 K값을 정하는 과정이 필수다.