응력법·변위법

왜 배우는가: 응력법과 변위법은 부정정 구조해석의 두 기본 축이며, 매트릭스 구조해석과 유한요소법의 이론적 바탕이다. 두 방법의 미지수 선택과 해석 순서를 구분하지 못하면 구조해석 전반에서 감점이 생기므로 시험에서 반복해 출제된다. 실무에서는 소규모 부정정 구조의 손계산과 대규모 골조의 전산 해석을 나눠 이해해야 한다.

출제 이력: 제119회 2교시 6번, 제114회 2교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의 문장:

응력법은 부정정력을 미지수로 하여 적합조건식으로 푸는 방법이고, 변위법은 절점변위를 미지수로 하여 평형방정식으로 푸는 방법이다.

핵심 키워드

• 부정정력(Redundant): 평형방정식만으로 구할 수 없어 적합조건으로 정하는 여분의 힘
• 적합조건식: 변형 후 구조가 연속성을 유지한다는 기하학적 조건
• 절점변위: 변위법의 미지수로 격점의 이동과 회전
• 강성행렬(Stiffness Matrix): 변위와 힘을 연결하는 부재·구조물 행렬
• 유연도행렬(Flexibility Matrix): 힘과 변위를 연결하는 응력법의 행렬
• 부정정 차수: 미지수 개수에서 독립 평형방정식 수를 뺀 값
• 직접강성법(Direct Stiffness Method): 변위법을 행렬로 조립해 푸는 방법

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 구조물의 힘이 평형방정식만으로 다 정해지지 않을 때 남는 미지수를 찾는 방법이 두 가지 있다는 뜻이다. 응력법은 힘을 미지수로 두고, 변위법은 변위를 미지수로 둔다.

정식으로 정의하면, 부정정 구조물은 평형조건과 적합조건을 함께 만족해야 해석된다. 부정정 구조의 해석은 응력법과 변위법으로 대별된다. 응력법은 부정정력을 미지수로 취하고, 변위법은 격점 변위를 미지수로 취한다.

응력법(Force Method)은 부정정력을 제거해 정정 기본구조를 만들고, 제거된 지점에서 변위가 원래 구조와 같아지도록 적합조건식을 세우는 방법이다. 일반적으로 부정정 차수가 작은 구조에 편리하다.

변위법(Displacement Method)은 절점에 생기는 회전과 이동을 미지수로 두고, 부재의 힘과 변형의 관계식을 이용해 절점의 평형방정식을 세우는 방법이다. 차수가 커져도 같은 절차로 행렬화할 수 있어 전산 해석에 적합하다.

두 방법의 핵심 차이는 미지수의 종류와 방정식의 종류에 있다. 응력법은 적합조건식이 지배방정식이고, 변위법은 평형방정식이 지배방정식이다. 이 차이가 해석 순서와 행렬의 크기를 결정한다.

3. 등장 배경과 필요성

초기 구조해석은 연속보와 라멘을 손으로 풀어야 했다. 3연 모멘트법, 처짐각법, 모멘트분배법 같은 방법이 차례로 제안되었다. 이 방법들은 모두 변형과 힘의 관계를 이용하는 점에서 공통된다.

부정정 구조는 평형방정식의 수가 미지수보다 적다. 그래서 변형의 적합 조건을 추가해야 해가 하나로 정해진다. 응력법은 이 추가 조건을 부정정력으로 표현하고, 변위법은 변위로 표현한다.

계산 기계가 보급되면서 구조 크기가 커졌고, 미지수를 행렬로 한꺼번에 다루는 방법이 필요해졌다. 변위법은 부재 강성행렬을 조립하는 직접강성법으로 발전했다. 이 방법이 유한요소법의 기본 골격이 되었다.

응력법은 변위법의 부재 힘-변형 관계식을 유도하는 데도 쓰인다. 따라서 두 방법은 대체 관계이면서 동시에 보완 관계이다. 답안에서는 이 점을 함께 언급하면 좋다.

4. 구성요소·원리·절차

응력법과 변위법은 부정정 구조의 미지수를 무엇으로 잡느냐가 다르다. 응력법은 부정정력을, 변위법은 절점 변위를 미지수로 둔다. 두 방법 모두 평형방정식과 적합조건식을 함께 쓴다.

응력법의 원리는 적합조건(compatibility condition)이다. 여분 구속을 제거한 정정 기본구조에 하중과 단위 부정정력을 가해 각 방향 변위를 구하고, 제거된 방향의 상대변위가 0이 되도록 부정정력을 정한다. 변위법의 원리는 평형조건(equilibrium condition)이다. 절점 변위를 미지수로 두고 각 절점에서 힘의 합이 0이 되도록 식을 세운다. 부재 단력은 부재 강성행렬로 절점 변위에서 계산한다.

응력법 절차는 다음과 같다.

• 부정정 차수 N을 구하고 여분 구속 또는 여분 부재력을 부정정력 X_i로 선택한다.
• 부정정력을 제거한 정정 기본구조를 만든다.
• 기본구조에 실제 하중을 가해 제거점의 변위 \\Delta_{i0}를 구한다.
• 기본구조에 단위 부정정력을 각각 가해 유연도계수 \\delta_{ij}를 구한다.
• 적합조건식 \\sum_j \\delta_{ij}X_j+\\Delta_{i0}=0을 세워 X_j를 푼다.
• 중첩하여 최종 부재력 F=F_0+\\sum X_i F_i를 구한다.

변위법 절차는 다음과 같다.

• 절점 번호와 자유도(회전각·횡변위)를 정하고 좌표계를 정한다.
• 고정단력(fixed end force)을 부재별로 구한다.
• 부재 강성행렬을 구하고 전체 강성행렬 [K]를 조립한다.
• 절점 평형방정식 [K]\\{D\\}=\\{P\\}-\\{P_F\\}를 세운다.
• 지점 조건을 적용하여 미지 절점 변위 \\{D\\}를 구한다.
• 부재 단부력 \\{f\\}=[k]\\{d\\}+\\{f_F\\}를 계산한다.

응력법에서 \\delta_{ij}는 단위 부정정력에 의한 제거점 변위이고, 변위법에서 K_{ij}는 단위 변위에 의한 절점력이다. 두 행렬은 서로 역관계에 있다. 변위법의 부재 강성행렬은 응력법에서 얻은 부재 힘-변형 관계와 같은 방식으로 유도되므로 응력법이 변위법 전개의 바탕이 된다는 설명이 자주 쓰인다.

응력법은 부정정력, 변위법은 절점 변위를 미지수로 한다

5. 관련 법령·기준·표준

구조해석 방법은 법령으로 정해진 기준이 아니라 구조역학과 건설기준(KDS)의 해석 원리이다. 설계 기준에서는 해석 방법에 따른 결과를 사용하며, 해석 방법 자체의 조항 번호는 확인되지 않았으므로 쓰지 않는다. 다음 표는 두 방법의 해석 조건과 적용 기준을 정리한 것이다.

평면 트러스의 부정정 차수는 N=m+r-2j(m: 부재 수, r: 반력 수, j: 절점 수)이며, 평면 라멘의 부정정 차수는 구조 조건에 따라 판정한다. 이 식은 부정정 차수 판정에 쓰인다. 평면 라멘에서 부재를 단위 구조로 보면 이 식 대신 부재 단위의 M-N 계산도 가능하다. 이 값들은 교과서 공식이며 KDS 조항 번호와는 무관하다.