지도투영법

왜 배우는가: 지도투영법은 측량 성과를 평면 지도와 좌표로 표현하는 기초 이론이다. 투영 성질과 투영면 형태에 따른 분류는 1교시 용어 문제와 4교시 논술 문제에 반복해서 출제되는 핵심 내용이다.

출제 이력: 제137회 4교시 1번, 제125회 2교시 1번, 제116회 1교시 12번, 제111회 1교시 5번, 제92회 1교시 2번, 제89회 4교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

지도투영법은 지구 곡면 위의 위치를 평면 좌표로 대응시키는 수학적 규칙이다.

지도투영법(Map Projection)은 지구의 곡면인 타원체면 위의 위도와 경도를 평면 위의 직교좌표로 옮기는 방법이다. 지도는 곡면을 평면으로 옮긴 그림이므로, 이 과정에서 면적·각·거리·방위 가운데 일부는 필연적으로 변한다. 따라서 지도투영법은 어떤 성질을 보존하고 어떤 성질을 왜곡할지를 정하는 규칙으로 이해해야 한다.

핵심 키워드

• 투영면: 지구 표면의 점을 옮겨 놓는 가상의 면이며, 원통·원추·평면의 세 형태가 기본이다.
• 정적도법(등적투영): 투영된 면적이 실제 면적과 같게 유지되는 도법이다.
• 정각도법(등각투영): 한 점에서 두 방향이 이루는 각이 보존되는 도법이다.
• 등거리도법: 중심선 등 특정한 선을 따라 거리가 정확하게 유지되는 도법이다.
• 방위도법: 투영면의 중심에서 본 방위가 정확하게 유지되는 도법이다.
• 축척계수: 투영면 위의 길이를 실제 길이로 나눈 비율이다.
• 왜곡: 보존되지 않은 성질에서 생기는 형태·면적·거리의 변형이다.

2. 개념 풀이

지도투영법의 정식 정의는 타원체면 위의 위도 φ와 경도 λ를 평면 직교좌표 x, y에 대응시키는 함수 관계이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$x = f(φ, λ)$ $y = g(φ, λ)$

여기서 f와 g는 도법마다 정해지는 함수이며, 이 함수의 형태가 도법의 성질을 결정한다.

원리는 지구 곡면과 평면의 기하학적 차이에서 나온다. 곡면은 가우스 곡률을 가지므로 평면에 펼치면 어느 방향으로든 늘어나거나 줄어든다. Theorema Egregium으로 불리는 가우스의 곡률 정리에 따라 곡면을 평면에 옮길 때 길이·각·면적을 동시에 보존할 수 없다. 모든 성질을 동시에 보존하는 지도투영법은 존재하지 않는다.

투영면이 지구에 닿는 방식에 따라 도법의 형태가 나뉜다. 원통도법은 지구를 감싼 원통에 투영한 뒤 원통을 펼친 것이고, 원추도법은 원뿔에, 방위도법은 평면에 투영한 것이다. 투영면이 지구에 한 선으로 접하면 접선 방식이고, 두 선에서 자르면 할선 방식이다.

한 점의 왜곡 정도는 축척계수 k로 나타낸다. 축척계수는 투영면 위의 미소 길이 ds′를 실제 미소 길이 ds로 나눈 값이며, 식은 다음과 같다.

$k = \frac{ds'}{ds}$

k = 1인 선은 축척이 왜곡되지 않는 표준선이다. 표준선에서 멀어질수록 k가 1과 달라지므로, 측량 지도에서는 표준선 근처를 쓰는 것이 유리하다.

성질에 따른 분류에서 정적도법과 정각도법은 서로 반대되는 쌍이다. 정각도법은 각이 보존되어 한 점의 형상이 정확하지만 면적은 고위도로 갈수록 크게 왜곡된다. 반대로 정적도법은 면적이 보존되어 분포도에 적합하지만 형상이 왜곡된다. 두 성질을 동시에 얻을 수 없으므로 용도에 따라 어느 쪽을 택할지가 투영법 선택의 기준이 된다.

네 가지 도법의 보존 성질과 대표 예는 다음과 같다.

각 도법은 한 가지 성질을 정확히 보존하는 대신 나머지 성질을 희생한다. 예컨대 등장방형도법은 경선과 위선의 간격이 같게 그려져 거리 계산이 쉽지만, 면적과 형상이 모두 왜곡된다.

3. 등장 배경과 필요성

지구는 거의 구에 가까운 곡면이므로 종이나 화면 같은 평면에 그대로 옮길 수 없다. 고대부터 천문 관측과 토지 측량에서 곡면 정보를 평면에 표현할 방법이 필요했고, 항해가 활발해지면서 방향을 일정하게 유지하는 지도가 요구되었다. 지도투영법은 이런 실용적 요구에서 발전한 체계이다.

1569년 네덜란드의 메르카토르가 발표한 메르카토르도법은 등방위선을 직선으로 나타내 항해에 쓰였다. 이 도법은 정각 성질을 가져 방위 판단이 쉽지만, 고위도로 갈수록 면적과 축척이 크게 확대되어 극지방을 표시할 수 없다. 이 사례는 같은 지구를 그려도 투영법 선택에 따라 쓰임과 왜곡이 달라짐을 보여준다.