구면삼각형·구과량

왜 배우는가: 구면삼각형은 지구 표면처럼 휘어 있는 면에서 각과 넓이를 계산할 때 평면 공식이 성립하지 않음을 보여 주는 대표 도형이다. 구과량은 측지측량에서 관측값을 평면으로 처리할지 구면으로 처리할지를 정하는 기준이므로, 1교시 용어 문제와 2~4교시 논술 문제에서 함께 묻는 기초 개념이다.

출제 이력: 제117회 1교시 7번, 제99회 1교시 1번, 제92회 1교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

구면삼각형은 세 대원호로 둘러싸인 도형이고, 내각 합이 180°를 넘는 초과분이 구과량이다.

• 구면삼각형: 구면 위에서 세 대원호가 두 점씩 만나 이루는 도형이다.
• 대원호: 구의 중심을 지나는 평면이 구면을 자른 원의 호이다.
• 구과량: 구면삼각형 내각의 합이 180°를 넘는 초과분이다.
• 내각합: 구면삼각형 세 내각의 합으로, 평면삼각형과 달리 180°가 아니다.
• 지구곡률반경: 지구를 구로 볼 때의 반경 R이며 면적 계산의 기준이 된다.
• Girard의 정리: 구과량과 구면삼각형 넓이의 관계를 나타낸 정리이다.
• 측지측량: 넓은 지역에서 지구 곡률과 기상조건을 보정해 수행하는 측량이다.

2. 개념 풀이

구면삼각형은 구면 위에서 세 개의 대원호가 서로 두 점씩 만나 이루는 도형이다. 평면삼각형의 구면 대응물에 해당하며 Euler 삼각형이라고도 부른다. 구면 위에서 두 점을 잇는 최단 경로가 대원호이므로 구면삼각형의 변은 모두 대원호로 정의된다. 구면삼각형의 각은 두 대원이 만나는 점에서 그 접선이 이루는 각이며, 관례상 π 미만의 값으로 쓴다.

평면삼각형의 세 내각의 합은 항상 180°이다. 구면은 휘어 있어 이 관계가 성립하지 않는다. 구면삼각형의 세 내각의 합은 180°보다 크고 540°보다 작은 범위에 있다. 이 초과분을 구과량(spherical excess)이라 하며 보통 ε으로 쓴다. 구과량은 구면삼각형 내각의 합에서 180°를 뺀 값이다.

식으로 쓰면 다음과 같다.

$ε = A + B + C − π$

여기서 A, B, C는 구면삼각형의 세 내각(라디안)이고 ε는 구과량(라디안)이다. 각을 도(°)로 쓰면 ε = A + B + C − 180°가 된다. 라디안 값에 ρ = 206265″를 곱하면 초 단위 구과량이 된다.

구과량이 생기는 원리는 구면 위에서 두 대원이 만날 때 생기는 쐐기 모양 영역의 넓이가 벌어진 각에 비례한다는 사실이다. 구면 전체의 넓이는 4πR²이고, 두 대원이 만드는 구면이각형의 넓이는 그 각에 비례한다. 이 관계를 세 대원 전체에 적용하면 구면삼각형의 넓이가 구과량으로 결정되며, 이 결과가 Girard의 정리이다. 구면삼각형의 넓이 A_s는 라디안 단위 구과량 ε에 곡률반경 R의 제곱을 곱한 값이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$A_s = ε R²$

여기서 R은 구의 반경이고, 도(°) 단위 구과량 E로 쓰면 식은 A_s = πR²E/180이 된다. 구면삼각형의 넓이와 구과량은 이 식으로 서로 결정된다.

구과량은 구면삼각형의 넓이에 비례하므로 삼각형이 커질수록 구과량도 커진다. 반대로 작은 삼각형에서는 구과량이 거의 0에 가까워 내각의 합이 평면삼각형의 180°에 근접한다. 구과량은 구면삼각형의 넓이를 곡률반경의 제곱으로 나눈 값과 같다.

작은 구면삼각형에 대해서는 Legendre의 정리를 적용할 수 있다. Legendre의 정리에 따르면 작은 구면삼각형의 각은 대응하는 평면삼각형의 각보다 구과량의 약 3분의 1만큼 크다. 따라서 구과량은 구면삼각형을 평면삼각형으로 근사할 때 생기는 각 오차의 크기를 가늠하는 기준이 된다.

지구의 평균 곡률반경 R은 약 6,370km이다. 구면 위 삼각형이 이 반경에 비해 작으면 구과량이 작아 평면 공식으로 근사된다. 지구 곡률을 무시하고 평면으로 취급할 수 있는 범위는 대략 반경 11km 이내이다. 이 범위를 넘으면 측지측량으로 다루어야 한다.

구면기하학은 유클리드 기하학의 평행선 공준을 만족하지 않는다. 구면 위에서 두 대원은 항상 두 점에서 만나므로 평행선이 존재하지 않는다. 닮음인 구면삼각형은 크기가 같아야 하므로, 세 각을 주면 삼각형이 하나로 정해진다. 구면삼각형을 푸는 기본 관계는 구면 사인법칙과 구면 코사인법칙이며, 평면의 사인법칙과 코사인법칙과 형태가 비슷하다. 다만 세 각의 합이 크기에 따라 달라지므로 계산 결과를 평면과 같은 방식으로 해석해서는 안 된다.