오차전파

왜 배우는가: 오차전파는 면적과 좌표 같은 간접 결과가 관측 오차에 얼마나 영향을 받는지 정량적으로 알려 준다. 이 개념은 여러 교시에서 출제되어 왔으므로 정밀도 설계와 성과 표기의 기초로 익혀야 한다.

출제 이력: 제134회 1교시 1번, 제132회 1교시 6번, 제122회 1교시 3번, 제110회 3교시 2번, 제90회 2교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

오차전파는 관측값의 오차가 함수를 거쳐 간접 측정량에 전달되는 크기를 확률 법칙으로 구하는 방법이다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 오차전파법칙: 관측값의 분산과 편미분 값으로 함수값의 분산을 계산하는 법칙이다.
• 간접 측정량: 직접 관측하지 않고 관측값을 계산하여 얻는 면적, 좌표, 방위각 같은 양이다.
• 편미분: 다른 관측값을 고정하고 한 관측값에 대해 함수를 미분한 값으로, 그 관측값의 영향력을 나타낸다.
• 표준편차: 분산의 양의 제곱근으로, 결과와 같은 단위로 정밀도를 나타낸다.
• 독립 관측: 관측값 사이에 상관이 없어 공분산이 0인 관측이다.
• 공분산: 두 관측값이 함께 변하는 정도를 나타내는 값이다.
• 정밀도: 반복 관측값이 서로 모이는 정도로, 측정 결과의 신뢰도를 판단하는 기준이다.

2. 개념 풀이

오차전파는 관측값 x₁, x₂, …, xₙ의 오차가 이 값들로 계산한 함수 F = f(x₁, x₂, …, xₙ)에 어떻게 전달되는지 구하는 방법이다. 함수 f가 비선형이면 관측 오차가 작다는 전제에서 테일러 급수를 1차항까지 취하여 선형으로 근사한다. 이렇게 하면 함수값의 변화량은 관측값 변화량의 가중합으로 나타나며, 가중치가 바로 편미분 값이다.

식으로 쓰면 다음과 같다.

$ΔF ≈ Σ (∂f/∂x_i) Δx_i$

여기서 ΔF는 함수값의 변화량, ∂f/∂x_i는 i번째 관측값에 대한 편미분, Δx_i는 i번째 관측 오차이다. 관측값이 서로 독립이고 각 분산이 σ_i²이면 함수값의 분산은 다음과 같이 된다.

$σ_F² = Σ (∂f/∂x_i)² σ_i²$

함수값의 분산은 각 관측값의 분산에 편미분의 제곱을 곱하여 더한 값이다. 이 식은 민감도가 큰 관측값의 오차가 결과 정밀도를 좌우한다는 뜻이다. 독립 관측이면 공분산 항은 0이므로 위 식만으로 충분하다.

관측값 사이에 상관이 있으면 공분산 항이 추가된다. 이때는 공분산 행렬을 써서 $σ_F² = J Σ Jᵀ$로 계산한다. J는 편미분을 한 줄로 배열한 자코비안 행렬이고, Σ는 관측값의 분산·공분산 행렬이다. 이 형태는 독립 관측의 식을 일반화한 것이다.

오차전파 계산은 다음 순서로 진행한다.

• 측정 목적에 맞게 결과를 관측값의 함수 F = f(x₁, …, xₙ)로 정의한다.
• 각 관측값에 대한 편미분 ∂f/∂x_i를 구하고 관측값을 대입한다.
• 관측값의 표준편차 σ_i를 제곱하여 분산 식에 대입하고 모든 항을 더한다.
• 제곱근을 취하여 σ_F를 구하고, 결과가 상식 범위인지 확인한다.

1차 근사는 오차가 작아서 함수를 선형으로 볼 수 있을 때만 타당하다. 오차가 커지면 근사에서 버린 고차항의 영향이 커져 전파 결과의 신뢰도가 떨어진다.

핵심 용어 풀이는 다음과 같다.

• 편미분은 나머지 관측값을 상수로 보고 한 변수에 대해 미분한 값이다.
• 자코비안 행렬은 여러 함수를 여러 관측값으로 편미분한 값을 행렬로 배열한 것이다.
• 분산 공분산 행렬은 관측값들의 분산과 공분산을 대칭 행렬로 나타낸 것이다.

3. 등장 배경과 필요성

측량에서 직접 관측으로 얻을 수 있는 값은 거리, 각, 높이차 같은 기본 관측량에 한정된다. 그러나 측량의 최종 성과인 면적, 좌표, 방위각, 경사 보정 후 수평거리는 기본 관측량을 조합한 계산으로 얻는다. 따라서 성과의 정밀도를 알려면 관측 오차가 계산 과정을 거치며 얼마나 커지거나 줄어드는지를 따져야 한다. 오차전파는 이 요구에서 출발한다.

설계 단계에서는 오차전파가 역으로 쓰인다. 요구된 성과 정밀도를 먼저 정하고, 그 정밀도를 만족하도록 각 관측값의 허용 오차를 배분한다. 예를 들어 토지 면적의 허용 상대오차가 주어지면 변길이의 허용 오차를 오차전파 식으로 역산한다. 이 과정에서 어느 관측이 결과 정밀도를 지배하는지 드러나므로, 관측 장비와 방법을 고르는 합리적 기준이 된다.